AMC 10 · 2010 · #23

학년 9 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta
function-compositionpolynomial-rootsquadratic-equationsvieta-formulas symmetry-argumentconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equationsfunction-composition
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
숨겨진 두 위로 열린 포물선을 합성함수의 영점으로만 안다. 두 최솟값의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
-100
(B)
-82
(C)
-73
(D)
-64
(E)
0
풀이 과정
전략 다르게 정리하기

도구 #15 (다르게 정리하기): 근이 네 개 주어진 사차식은 정보가 많아 보이지만, "P(Q(x))=0"이 말하는 것은 훨씬 단순하다 — Q(x)가 P 의 근 위에 내려앉았다는 것이다. 그렇게 다시 읽으면 사차식 하나가 두 개의 이차방정식 Q(x)=r₁, Q(x)=r₂로 바뀌고, 주어진 네 수는 그 방정식들의 해일 뿐이다. 도구 #4 (변수 도입하기): 문제가 묻는 것이 두 최솟값이므로 그것을 처음부터 p, q 로 이름 붙이고 P(x)=(x-h)²+p, Q(x)=(x-k)²+q 로 쓴다. 그러면 주어진 모든 사실이 h,k,p,q 에 대한 식이 되고, 구하려는 p+q 는 마지막에 캐내야 할 것이 아니라 미지수 자체가 된다. 도구 #3 (가능성 지우기): 네 영점을 두 짝으로, 이차방정식마다 한 짝씩 나누어야 하는데, 세 가지 나누는 방법 중 두 방정식이 Q 의 꼭짓점을 공유한다는 사실과 양립하는 것은 단 하나뿐이다 — 짝짓기는 고르는 것이 아니라 강제된다. 도구 #6 (추측하고 확인하기): 값을 강제하는 것은 다른 답이 불가능함만 증명한다. 실제로 P,Q 를 만들어 여덟 개의 영점을 모두 확인해야 이 답이 가능함이 증명된다.

1STEP 1

합성을 두 방정식으로 읽기

합성이 0이면 안쪽 값이 근에 닿는다.

P(Q(x))=(Q(x)-r₁)(Q(x)-r₂), Q(P(x))=(P(x)-s₁)(P(x)-s₂)
2STEP 2

두 최솟값에 이름 붙이기

꼭짓점 꼴이 각 최솟 값을 이름 짓는다.

P(x)=(x-h)²+p, Q(x)=(x-k)²+q; Q(x)=r ⇔ (x-k)²=r-q ⇔ x=k±√(r-q)
3STEP 3

네 영점을 더해 꼭짓점 찾기

네 영점의 평균이 각 꼭짓점을 찾는다.

4k=-76 → k=-19; 4h=-216 → h=-54
4STEP 4

대칭이 짝짓기를 강제한다

대칭이 어떤 영점끼리 짝인지 강제한다.

{r₁,r₂}={q+16, q+4}, {s₁,s₂}={p+25, p+9}
5STEP 5

근과 계수의 관계로 고리 닫기

근의 합이 고리를 닫는다.

(q+16)+(q+4)=-108 → q=-64; (p+25)+(p+9)=-38 → p=-36; p+q=-100
6STEP 6

그런 P와 Q가 존재하는지 확인

그런 포물선이 존재하므로 합은 -100이다.

P(x)=(x+48)(x+60), Q(x)=(x+11)(x+27); Q(x)=-48 → x∈{-23,-15}, Q(x)=-60 → x∈{-21,-17}; P(x)=-11 → x∈{-59,-49}, P(x)=-27 → x∈{-57,-51}
정답
-100
내부 검증 세 가지가 서로 맞는다. 첫째, 필요한 간격이 완전제곱수로 나왔다 — 한쪽은 16,4, 다른 쪽은 25,9이다. 꼭짓점으로부터의 거리가 √(r-q) 이므로 그럴 수밖에 없다. 만약 영점 간격이 관찰된 거리의 제곱과 맞지 않았다면 그런 P,Q 는 존재하지 않는다. 둘째, 상수항이 교차 검증된다. P(x)=x²+108x+2880은 r₁r₂=(-48)(-60)=2880이고, 4단계가 예측한 P 의 근은 q+16=-48, q+4=-60이다. 마찬가지로 Q(x)=x²+38x+297은 s₁s₂=(-11)(-27)=297 이며 p+25=-11, p+9=-27과 맞는다. 셋째, 선택지 (E) 0은 계산 전에 배제할 수 있다. P(Q(x))가 서로 다른 네 개의 실근을 가지므로 P 는 Q 가 실제로 도달하는 서로 다른 두 실숫값을 근으로 가져야 하고, 따라서 P 는 서로 다른 두 실근을 가져 최솟값이 반드시 음수다 — Q 도 같다. 오답 선택지는 모두 진짜 계산을 아깝게 놓친 것들이다. (D) -64는 Q 의 최솟값만으로 한 단계 일찍 멈춘 값이고, (C) -73은 h+k=-54+(-19), 즉 두 최솟값이 아니라 두 꼭짓점의 위치를 더한 값이다 — 이 문제에서 엉뚱한 질문에 답하는 가장 쉬운 길이다.
💡핵심 정리

P(Q(x))=0 이라면 Q(x)는 P 의 근 위에 내려앉은 것이고, 포물선은 거울이므로 거기에 내려앉게 하는 x 들은 언제나 꼭짓점을 사이에 둔 균형 잡힌 짝으로 나온다.

  • 합성을 두 방정식으로 읽기
  • 두 최솟값에 이름 붙이기
  • 네 영점을 더해 꼭짓점 찾기
  • 대칭이 짝짓기를 강제한다
  • 근과 계수의 관계로 고리 닫기
  • 그런 P와 Q가 존재하는지 확인

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