AMC 10 · 2010 · #24

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

sign-analysispolynomial-rootsvieta-formulasinterval-arithmetic identify-subproblemssymmetry-argument ↑ 선수 지식: sign-analysisvieta-formulas

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 역수의 합이 여러 구간에서 1 이상이 된다. 구간 길이의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1003}{335}$

(B)

$\dfrac{1004}{335}$

(C)

(D)

$\dfrac{403}{134}$

(E)

$\dfrac{202}{67}$

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

이 구간들의 끝점은 인수분해되지 않는 삼차식의 근이므로, 하나씩 구하려 드는 순간 막힌다. 도구 #16 (관점 바꾸기)이 핵심이다. 문제가 묻는 것은 길이의 '합'뿐이고, 그 합은 결국 근들의 '합'과 같아지는데, 근의 합이야말로 비에트 정리가 아무것도 풀지 않고 그냥 내주는 값이다. 도구 #4 (변수 도입하기): t=x-2010으로 두어 극점을 -1,0,1로 옮긴다. 그림을 옆으로 미는 것은 길이를 바꿀 수 없고, 대칭인 극점은 계산을 깔끔하게 만든다. 도구 #1 (그림 그리기): f 의 모양을 확보한다. 극점이 수직선을 네 조각으로 자르고 각 조각에서 함수는 계속 내려가므로, 한 조각은 높이 1을 많아야 한 번 만난다. 도구 #7 (쪼개기): 네 조각은 서로 다르게 행동하므로 따로따로 다룬다. 도구 #14 (극단의 원리): 눈이 건너뛰기 쉬운 맨 왼쪽 조각, 즉 세 항이 모두 음수인 곳을 처리한다. 이 누락은 겉치레가 아니다. 기여하는 조각의 개수가 뒤에 나올 삼차식의 차수와 정확히 같다는 사실 위에 논증 전체가 서 있기 때문이다. 가정하지 말고 반드시 못 박아야 할 것이 둘 있다. 첫째, 기여하는 각 조각이 정확히 하나의 구간을 주고 그 구간의 오른쪽 끝이 닫혀 있다는 것. 답이 깔끔한 합이 되는 이유가 여기에 있다. 둘째, 찾아낸 세 끝점이 그 삼차식의 근 '전부'라는 것. 근 하나라도 허수였다면 비에트의 합은 그 허수까지 포함해 버려 길이의 총합과 달라진다.

1STEP 1

극점을 -1,0,1로 옮기기

이동하면 극점이 대칭인 세 자리에 놓인다.

t=x-2010 ⟹ g(t)=1/(t+1)+1/t+1/(t-1) ≥ 1

2STEP 2

네 조각, 각 조각에서 계속 내려감

함수가 모든 조각에서 내려간다.

g 는 (-∞,-1), (-1,0), (0,1), (1,∞) 각각에서 순감소

3STEP 3

맨 왼쪽 조각은 아무것도 주지 않는다

맨 왼쪽 조각은 내내 음수다.

t ＜ -1 ⟹ 1/(t+1) ＜ 0, 1/t ＜ 0, 1/(t-1) ＜ 0 ⟹ g(t) ＜ 0

4STEP 4

나머지 세 조각은 각각 구간 하나

남은 각 조각이 정확히 하나의 구간을 낳는다.

(-1,p], (0,q], (1,r] (g(p)=g(q)=g(r)=1)

5STEP 5

총 길이는 p+q+r

총 길이에서 극점의 위치가 상쇄된다.

(p+1)+q+(r-1)=p+q+r

6STEP 6

g(t)=1을 삼차식으로

끝점들은 하나의 삼차식을 만족한다.

3t²-1=t³-t ⟺ t³-3t²-t+1=0

7STEP 7

이 셋이 근의 전부다

그 셋이 근의 전부다.

h(t)=t³-3t²-t+1=(t-p)(t-q)(t-r)

8STEP 8

비에트 정리로 마무리

근의 합은 3, 보기 (A).

p+q+r=--3/1=3

정답

확인 세 가지. 수치로 보면 t³-3t²-t+1의 근은 약 -0.6751, 0.4608, 3.2143으로 각각 (-1,0), (0,1), (1,4) 안에 하나씩 들어가고 합은 3.000이다. 구간은 약 (-1,-0.675], (0,0.461], (1,3.214]이고 길이는 0.325+0.461+2.214=3이다. 원래 변수 그대로 2005 ≤ x ≤ 2020 에서 부등식을 촘촘히 표본조사하면 해집합의 크기가 ≈ 2.99999로 나오므로, 2010 만큼의 평행이동이 무언가를 숨긴 것이 아니다. 구조로 보면 오답들이 오히려 단서다. 1003/335≈ 2.994, 1004/335≈ 2.997, 403/134≈ 3.007, 202/67≈ 3.015는 모두 3 바로 옆에 몰려 있고 335=2010/6, 134=2010/15, 67=2010/30으로 만들어져 있다. 연도 숫자가 답까지 살아남는다고 믿는 사람을 노린 것이고, 1단계가 그럴 수 없음을 보여 준다. 하나 경고해 둘 것이 있다. 흔한 지름길은 부등식을 통째로 곱해 -t³+3t²+t-1 ≥ 0을 얻고 여기서 구간을 읽는데, 이는 동치가 아니다. t=-2 에서 이 다항식은 17 ≥ 0 이지만 g(-2)=-1-1/2-1/3 ＜ 1 이므로, 다항식 부등식은 맨 왼쪽에 있지도 않은 가지를 하나 더 집어삼킨다. 그럼에도 답이 맞는 이유는 근의 합이 이 오류를 눈치채지 못하기 때문일 뿐이다. 위 풀이는 등식에서만 분모를 없애 이 함정을 피했다.

💡핵심 정리

구간의 끝점은 삼차식의 지저분한 근이지만 왼쪽 끝점들이 서로 상쇄되어 총 길이는 결국 근들의 합이 되고, 최고차항 계수가 1 인 삼차식은 그 합을 t² 계수에서 바로 알려 준다.

극점을 -1,0,1로 옮기기
네 조각, 각 조각에서 계속 내려감
맨 왼쪽 조각은 아무것도 주지 않는다
나머지 세 조각은 각각 구간 하나
총 길이는 p+q+r
g(t)=1을 삼차식으로
이 셋이 근의 전부다
비에트 정리로 마무리