AMC 10 · 2010 · #3
학년 4 number-theory factorsdivisibility-rulesgcd systematic-enumeration ↑ 선수 지식: factors
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
정수인 표 가격이 서로 다른 두 총액을 모두 나누어떨어지게 한다. 가능한 가격의 개수를 세어라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기
몇 가지 가격이 가능한지 묻고 있으므로, 먼저 가능한 가격이라면 반드시 지켜야 할 규칙을 확실히 잡고, 그 규칙을 만족하는 수를 모두 나열해 개수를 센다. 가격 곱하기 표의 정수 장수가 총액이 되므로, 가격은 각 총액을 나누어떨어지게 해야 한다. 두 총액을 모두 나누는 수를 나열하면 문제가 짧고 확인 가능한 목록으로 바뀐다.
1STEP 1
가격이 48을 나눔
표 수가 정수이면 가격이 약수가 된다.
48 = t × x → x ∣ 48
돈이 정수 장수의 표로 나뉘려면, 가격이 총액을 나머지 없이 나눠야 한다.
돈이 온전한 표로 나뉜다면, 표값이 총액을 남김없이 나누어야 한다.
▸ 왜?
표의 개수가 정수가 되는 것은 나눗셈에 나머지가 없을 때뿐이다.
나머지가 있는 나눗셈N을 크기 d의 묶음으로 나누면 N = q·d + r (0 ≤ r < d); r=0일 때만 N은 d의 배수다.
▸ 왜?
각 값은 그것이 만들어 내는 표의 개수와 짝을 이루므로, 가능한 값은 정확히 약수들이다.
약수는 짝을 이룬다약수는 저마다 짝을 함께 내주므로 둘씩 짝지어진다 — 자기 자신이 짝인 경우만 예외다.
2STEP 2
가격이 64을 나눔
다른 총액에 대해서도 같아야 한다.
64 = s × x → x ∣ 64
하나의 가격이 두 총액에 모두 맞아야 하므로, 두 총액을 다 나눠야 한다.
4.OA.B.4Introduce A Variable3STEP 3
공약수 나열
따라서 공약수만 살아남는다.
48: 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 64: 1,2,4,8,16,32,64 공통: 1,2,4,8,16
가능한 가격은 두 약수 목록에 동시에 들어 있어야 한다.
4.OA.B.4Make A Systematic List4STEP 4
값의 개수 세기
그런 것이 5개다, 보기 (A).
{1,2,4,8,16} → 5 가지
공통 약수를 세는 것이 곧 가능한 가격의 개수이다.
4.OA.B.4Make A Systematic List정답
5
나열한 각 가격이 실제로 성립한다. 예를 들어 x = 16이면 9학년은 3장(48), 10학년은 4장(64)을 사며 둘 다 정수 장수이다. 반면 5 같은 가격은 48이 5의 배수가 아니므로 안 되고, 따라서 아무 작은 수나 되는 것이 아니라 공통 약수 5개만 된다. 5는 보기 (E)와 일치한다.
💡핵심 정리
표 가격은 각 무리의 총액을 정확히 나눠야 하므로, 두 총액에 모두 나누어떨어지는 수를 세기만 하면 된다.
- 가격이 48을 나눔
- 가격이 64을 나눔
- 공약수 나열
- 값의 개수 세기