AMC 10 · 2010 · #8
학년 6 logic mean-median-mode-rangelogical-deductionlinear-equations-one-var bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
학교마다 세 명씩 나가고, 한 참가자가 전체의 중앙이면서 자기 팀의 최고다. 학교 수를 세어라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
22
(B)
23
(C)
24
(D)
25
(E)
26
풀이 과정
전략 변수 도입하기
학교 수를 문자로 이름 붙이면 전체 학생 수와 ìëë ì의 중앙값 등수가 간단한 식이 된다. 두 동료의 등수는 경계선 역할을 해서 중앙값 등수를 위와 아래에서 조여 준다(극단의 원리). 전체 수가 홀수여야 하고 학교 수는 자연수이므로 후보 중 하나만 살아남는다(가능성 지우기).
1STEP 1
학교 수를 문자로 놓기
전체는 학교 수의 세 배다.
total students = 3n
구하려는 대상에 문자 하나를 붙이면 다른 모든 양을 그 문자로 나타낼 수 있다.
6.EE.A.2Introduce A Variable2STEP 2
중앙값의 등수 찾기
동점 없는 중앙값은 전체를 홀수로 만든다.
ìëë ìì ë±ì = (3n+1)/2, 3n odd → n odd
가운데 값 하나가 딱 존재하려면 목록의 개수가 홀수여야 한다.
가운데 값이 하나뿐인 것은 목록의 항목 수가 홀수일 때뿐이다.
▸ 왜?
중앙값은 순서대로 놓인 목록의 한가운데 있는 것이므로, 그 자리에 설 항목이 하나 있어야 한다.
중앙값은 정렬된 자료의 가운데중앙값은 자료를 크기순으로 담을 때 가운데 오는 값이다(홀수면 중앙 하나).
▸ 왜?
개수가 짝수면 두 항목이 가운데를 나눠 가지므로, 가운데가 하나이려면 개수가 홀수여야 한다.
짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.
3STEP 3
베스로 n의 위쪽 한계 정하기
팀 최고라는 점이 위쪽 한계를 정한다.
(3n+1)/2 ≤ 36 → 3n ≤ 71 → n ≤ 23
알려진 등수를 앞선다는 사실은 중앙값이 놓일 수 있는 위치에 천장을 씌운다.
6.EE.B.8Extreme Principle4STEP 4
카를라로 n의 아래쪽 한계 정하기
가장 낮은 팀원이 아래쪽 한계를 정한다.
3n ≥ 64 → n ≥ 22
실제로 나온 등수 번호는 적어도 그만큼의 사람이 왔음을 증명한다.
6.EE.B.8Introduce A Variable5STEP 5
조건에 맞는 값만 남기기
두 한계를 모두 통과하는 것은 23뿐이다.
22 ≤ n ≤ 23, n odd → n = 23
자연수 범위 안에 올바른 홀짝성을 가진 값이 하나뿐이면 그 값이 정해진다.
6.EE.B.5Eliminate Possibilities6STEP 6
개수 확인하기
중앙값을 다시 계산해도 23이다, 보기 (B).
3 · 23 = 69, (69+1)/2 = 35
찾은 답을 다시 넣었을 때 이야기 속 모든 단서가 참이 되어야 한다.
6.SP.A.3Eliminate Possibilities정답
23
답을 모든 단서와 대조한다. 학교 23개는 학생 69명을 주고, 이는 홀수이므로 35등에 단 하나의 중앙값이 존재한다. 35등인 안드레아는 두 동료(37등, 64등)보다 앞서므로 팀 1등이고, 69는 64 이상이라 64등 자리도 존재한다. 모든 조건이 충족되며 23은 보기 안에 있다.
💡핵심 정리
모르는 값에 이름을 붙이고, 각 단서를 위아래로 조이는 부등식으로 바꾼 다음, 올바른 홀짝성을 가진 자연수 하나만 남겨라.
- 학교 수를 문자로 놓기
- 중앙값의 등수 찾기
- 베스로 n의 위쪽 한계 정하기
- 카를라로 n의 아래쪽 한계 정하기
- 조건에 맞는 값만 남기기
- 개수 확인하기