AMC 10 · 2011 · #10
학년 7 probabilitygeometry-2d area-circlesperimeterprobability-basic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
주사위 눈의 합이 원의 지름이 되고, 두 값을 순수한 수로 비교한다. 그 확률을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{1}{36}$
(B)
$\frac{1}{12}$
(C)
$\frac{1}{6}$
(D)
$\frac{1}{4}$
(E)
$\frac{5}{18}$
풀이 과정
전략 변수 도입하기
변하는 값은 지름 하나뿐이므로 도구 #4(변수 도입하기)가 자연스러운 출발점이다. 지름을 d라 부르고 넓이와 둘레를 d에 대한 식으로 쓰면 모호한 말 비교가 깔끔한 부등식으로 바뀐다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 두 조각으로 나눈다. 먼저 어떤 지름이 조건을 만족하는지 찾는 기하·대수 단계, 그다음 그런 지름이 주사위에서 얼마나 자주 나오는지 세는 확률 단계이다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 36가지 중 순서쌍을 나열해 그 세기를 깔끔하게 처리한다.
1STEP 1
두 양을 d로 나타내기
두 값 모두 같은 지름에서 나온다.
넓이 = π(d/2)² = (π d²)/4, 둘레 = π d
지름을 d라 부르면 글자 하나가 비교 전체를 담아, 기하 문제가 부등식 하나로 바뀐다.
7.G.B.4Introduce A Variable2STEP 2
비교를 d ＜ 4로 바꾸기
비교가 단순한 한계로 줄어든다.
(π d²)/4 ＜ π d ⟹ d/4 ＜ 1 ⟹ d ＜ 4
공통 양수 인수 π d로 나누면 군더더기가 사라지고 d의 크기만 판정하면 된다.
공통된 양의 인수로 나누면 군더더기가 벗겨지고 지름에 대한 간단한 크기 시험만 남는다.
▸ 왜?
양쪽이 공유하는 인수는 둘을 함께 키우므로, 그것을 없애도 어느 쪽이 큰지는 달라지지 않는다.
비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
▸ 왜?
그 인수가 양수이므로, 나누어도 비교의 방향이 그대로 남는다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
3STEP 3
조건을 만족하는 눈의 합 찾기
그것을 통과하는 눈의 합은 둘뿐이다.
d ＜ 4, d ≥ 2 → d ∈ {2,3}; d=2 : (1,1); d=3 : (1,2),(2,1)
가장 작은 두 합만 경계 아래로 들어오고, 각각을 만드는 방법은 몇 가지뿐이다.
7.SP.C.8Make A Systematic List4STEP 4
확률 계산하기
확률은 1/12, 보기 (B).
P = (1 + 2)/36 = 3/36 = 1/12 → (B)
유리한 결과를 전체 36가지로 나누면 곧바로 확률이 나온다.
7.SP.C.8Make A Systematic List정답
1/12
경계인 d = 4에서는 넓이와 둘레가 같다((π·16)/4 = 4π = π·4). 따라서 4보다 작은 지름만 조건을 만족하며, 이는 작은 집합이므로 작은 확률이 예상된다. 조건을 만족하는 합은 2와 3뿐이고 이는 가장 드문 합으로 각각 1/36, 2/36이다. 합은 3/36 = 1/12로 보기 (B)이다. 함정 보기들은 부분 계산과 맞물린다. (A) 1/36은 d=2만 센 값, (C) 1/6은 d=4까지 잘못 포함한 값, (E) 5/18은 부등식을 아예 무시한 값이다.
💡핵심 정리
두 값을 비교하라는 긴 문장을 변수 하나짜리 부등식으로 바꾼 뒤, 통과하는 주사위 결과만 세면 된다.
- 두 양을 d로 나타내기
- 비교를 d ＜ 4로 바꾸기
- 조건을 만족하는 눈의 합 찾기
- 확률 계산하기