AMC 10 · 2011 · #12
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이 문제의 어려움은 이야기에 등장하는 세 양 중 둘 — 강물의 속력과 보트의 속력 — 이 끝까지 주어지지 않는다는 데 있다. 그래서 진짜 보여야 할 주장은 "시간이 어떤 값이다"가 아니라 "그 두 속력이 무엇이든 시간은 같은 값이다"이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 중심축인 이유가 여기에 있다: 만남 조건을 문자 p, r, t에 대한 하나의 방정식으로 쓰면 그 주장이 그대로 결판난다 — p와 r이 모두 소거되고 t의 값 하나만 남는다. 도구 #4(변수 도입하기)는 주어지지 않은 속력에 이름을 붙여 소거될 수 있게 하고, 도구 #8(단위 살펴보기)은 어느 속력이 강기슭 기준이고 어느 속력이 물 기준인지 계속 구분해 준다 — 이 구분이야말로 문제 전체가 세워져 있는 토대이다. 이어서 도구 #16(관점 바꾸기)이 구조가 다른 두 번째 경로를 제공한다: 강기슭에서 보기를 그만두고 물 위에서 보면, 뗏목은 멈춰 있고 보트의 왕복은 눈에 띄게 대칭이 된다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)이 그 값이 이야기와 앞뒤가 맞는지 확인하고 선택지에 대응시킨다.
주어지지 않은 속력에 이름 붙이기
이름 없는 두 속력이 모든 것을 설명한다.
없는 수에 문자를 주면, 그 수가 없다는 사실 자체가 예측이 된다 — 반드시 소거된다.
6.EE.B.6Introduce A Variable물 기준 속력과 강기슭 기준 속력
흐름을 따라갈 때와 거스를 때가 그 흐름만큼 다르다.
엔진의 속력은 물에 대해 잰 값이므로, 강기슭에서의 위치를 말하려면 물 자체의 움직임에 더해야 한다.
엔진의 속력은 물에 견주어 잰 것이므로, 강기슭에서의 위치를 말하려면 물 자체의 움직임을 더해야 한다.
▸ 왜?
움직이는 것 안에서 무언가 움직이면, 속력은 더하거나 빼서 합쳐진다.
▸ 왜?
합쳐진 속력이 한결같으면 거리는 그 속력에 걸린 시간을 곱한 것이다.
9시간 후 두 물체의 위치
만나는 시각에 두 위치가 일치한다.
각 구간은 속력 곱하기 그 구간의 시간을 보태므로, 9시간째의 위치는 그 조각들의 합일 뿐이다.
6.RP.A.3Convert To Algebra두 미지의 속력이 모두 소거된다
두 미지의 속력이 완전히 상쇄된다.
주어진 적도 없는 문자가 스스로 소거되면, 답은 모든 강에서 같을 수밖에 없다.
8.EE.C.7Convert To Algebra물의 관점에서 다시 얻기
떠내려가는 관점에서 여정은 명백히 대칭이다.
물을 타고 함께 흘러가면 뗏목은 멈춰 있고, 보트의 나가는 길과 돌아오는 길은 서로 거울상이 된다.
7.NS.A.3Change Focus Count The Complement이야기와 맞는지 확인하기
어느 쪽이든 내려간 시간은 4.5시간, 보기 (C).
방정식을 푼 값은 그것이 그리는 장면이 실제로 일어날 수 있음을 확인해야 비로소 답이 된다.
6.EE.B.5Eliminate Possibilities물이 모든 것을 실어 나를 때는 물을 기준으로 재라: 뗏목은 멈추고, 보트의 나가는 길과 돌아오는 길은 거울상이 되어 9시간이 정확히 반으로 갈린다.
- 주어지지 않은 속력에 이름 붙이기
- 물 기준 속력과 강기슭 기준 속력
- 9시간 후 두 물체의 위치
- 두 미지의 속력이 모두 소거된다
- 물의 관점에서 다시 얻기
- 이야기와 맞는지 확인하기