AMC 10 · 2011 · #20

학년 8 algebranumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

quadratic-equationssystems-of-equationsdivisibility-rules pattern-recognitionbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정수 계수 이차식이 한 입력에서 0이고 다른 두 입력에서 좁은 구간 안에 든다. 멀리 있는 값의 위치를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 패턴 찾기

도구 #15 (다르게 정리하기): f(1)=0은 a+b+c=0, 즉 c=-a-b를 뜻한다. 이것을 다시 대입하면 f의 모든 값이 a와 b만의 식이 된다. 도구 #5 (패턴 찾기): c가 사라지면 f(7)=6(8a+b), f(8)=7(9a+b), f(100)=99(101a+b)가 되어 모든 f(n)이 인수 n-1을 품는다. 이 하나의 패턴이 문제 전체의 엔진이다. 이 패턴 때문에 f(7)은 6의 배수, f(8)은 7의 배수가 되고, 마지막에는 f(100)까지 그냥 얻어진다. 도구 #3 (가능성 지우기): 좁은 구간에 배수 조건이 겹치면 대개 살아남는 값이 하나뿐이며, 여기서도 각 구간에 정확히 하나만 남는다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 남는 일은 a와 b에 대한 일차식 두 개를 푸는 작은 문제뿐이다. 도구 #6 (추측하고 확인하기): 가능성을 지우는 과정은 '이 후보라면 될 수 있다'만 보여 주므로, 후보를 모든 조건에 되넣어 확인해야 비로소 믿을 수 있다.

1STEP 1

f(1)=0으로 c를 없애기

아는 근이 계수 하나를 없앤다.

f(1)=a+b+c=0 → c=-a-b → f(x)=ax²+bx-a-b

2STEP 2

모든 f(n)은 n-1의 배수

그러면 모든 값이 눈에 보이는 인수를 갖는다.

f(7)=6(8a+b), f(8)=7(9a+b), f(100)=99(101a+b)

3STEP 3

f(7)의 구간에는 값이 하나뿐

첫 구간에는 배수가 정확히 하나 있다.

6 ∣ f(7), 50 ＜ f(7) ＜ 60 → f(7)=54 → 8a+b=9

4STEP 4

f(8)의 구간에도 값이 하나뿐

둘째 구간에도 정확히 하나 있다.

7 ∣ f(8), 70 ＜ f(8) ＜ 80 → f(8)=77 → 9a+b=11

5STEP 5

두 식이 a와 b를 결정한다

두 방정식이 남은 계수를 모두 정한다.

8a+b=9 ; 9a+b=11 → a=2, b=-7, c=5

6STEP 6

후보가 정말 성립하는지 확인

그 후보가 모든 조건을 만족한다.

f(1)=0, f(7)=54∈(50,60), f(8)=77∈(70,80)

7STEP 7

f(100)을 구해 위치 찾기

먼 값이 그것을 3에 놓는다, 보기 (C).

f(100)=99 · 195=19305, 5000 · 3 ＜ 19305 ＜ 5000 · 4 → k=3 (C)

정답

먼저 크기를 어림해 보자. x가 클 때는 2x² 항이 지배하므로 f(100)은 2 · 100²=20000보다 조금 작아야 하고, -7x 항이 700만큼 끌어내린다. 대략 19300이 예상되며 실제 값 19305와 맞아떨어진다. 이 값이 20000을 넘지 않고 바로 아래에 떨어지기 때문에 k는 4가 아니라 3이다. 이 아슬아슬한 차이가 (C)와 (D)를 가르므로, 어림만으로는 위험하고 정확한 계산이 필요하다. 작은 선택지들도 무너진다. k=1이나 k=2이려면 f(100) ＜ 15000이어야 해서 a ≤ 1이 강요되는데, a=1이면 8a+b=9에서 b=1이고 그러면 9a+b=10 ≠ 11이다. (E)이려면 f(100) ＞ 25000, 즉 대략 a ≥ 3이어야 하는데 그러면 두 구간 조건이 모두 깨진다. 내부 점검을 하나 더 하면, 이차식의 계차의 계차는 2a인데 f(6)=35, f(7)=54, f(8)=77의 계차가 19와 23이므로 그 차는 4=2 · 2이고 a=2가 확인된다.

💡핵심 정리

f(1)=0이므로 모든 값 f(n)은 n-1의 배수다. 그래서 f(7)과 f(8)의 좁은 구간이 각각 허용되는 수를 딱 하나씩만 가두고, 그 두 수가 포물선 전체를 고정한다.

f(1)=0으로 c를 없애기
모든 f(n)은 n-1의 배수
f(7)의 구간에는 값이 하나뿐
f(8)의 구간에도 값이 하나뿐
두 식이 a와 b를 결정한다
후보가 정말 성립하는지 확인
f(100)을 구해 위치 찾기