AMC 10 · 2011 · #21

학년 9 algebrapattern
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Rule-Governed Process Simulation
domain-restrictionfunction-compositionrecursive-sequence work-backwardspattern-recognition ↑ 선수 지식: function-composition
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
함수가 제곱근을 통해 차례로 중첩되며 허용되는 입력이 줄어든다. 마지막 함수와 그 유일한 입력을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
-226
(B)
-144
(C)
-20
(D)
20
(E)
144
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기

도구 #11 (거꾸로 풀기): 함수가 제곱근의 둥지이고, 확실히 붙잡을 수 있는 사실은 정의의 맨 안쪽인 f₁의 조건뿐이다. f_n의 정의역을 D_n이라 쓰면 점화식이 각 정의역을 앞의 것에서 끌어내 주므로, 거대한 부등식 하나 대신 D₁→ D₂→ D₃→…라는 사슬 문제가 된다. 도구 #4 (변수 도입하기): t=√(n²-x)라고 이름을 붙이면 x를 검사하는 문제가 t로부터 만들어 내는 문제로 바뀌고, 치환 x=n²-t² 덕분에 이 되돌리기가 '필요조건의 나열'이 아니라 '집합의 정확한 등식'이 된다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): n=2, n=3을 직접 굴려 보면 수가 험해지기 전에 점화식의 모양이 보인다. 도구 #5 (패턴 찾기): 똑같은 한 줄 규칙이 모든 정의역을 만들어 내며, 한 번 공집합이 되면 영원히 공집합이라는 귀납 논증도 같은 규칙에서 나온다. 도구 #14 (극단의 원리): 문제는 경계에서 끝난다. 아래에서 0에 겨우 닿는 정의역에는 쓸 수 있는 값이 정확히 하나뿐이고, 그 하나가 그다음 전부를 고정한다. 도구 #6 (추측하고 확인하기): 집합 계산만으로는 그런 수가 실제로 존재한다는 것이 증명되지 않으므로, 살아남은 후보를 완전한 중첩 근호식에 되넣어 확인한다.

1STEP 1

정의역 규칙을 정확히 쓰기

규칙 하나가 허용되는 모든 입력을 설명한다.

D_n={x : x ≤ n² 그리고 √(n²-x)∈ D_n-1}
2STEP 2

음이 아닌 부분만 도달 가능하다

도달 가능한 것은 음이 아닌 부분뿐이다.

R_n-1=D_n-1∩[0,∞), D_n={ n²-t² : t∈ R_n-1 }
3STEP 3

f₁에서 사슬을 시작하기

사슬은 온전한 구간으로 시작한다.

D₁=(-∞,1], R₁=[0,1]
4STEP 4

점화식을 두 번 돌리기

점화식을 두 번 돌리면 왼쪽으로 옮겨진다.

D₂={4-t²:t∈[0,1]}=[3,4], D₃={9-t²:t∈[3,4]}=[-7,0]
5STEP 5

붕괴 지점: R₃은 한 점

그다음 도달 가능한 집합이 한 점으로 무너진다.

R₃=[-7,0]∩[0,∞)={0}
6STEP 6

한 점을 앞으로 밀어내기

그것을 밀어내면 마지막 입력 하나가 나온다.

D₄={16}, R₄={16}, D₅={-231}, R₅=∅, D₆=∅
7STEP 7

공집합은 계속 공집합

그 뒤로는 모두 공집합이다.

D_m=∅ → R_m=∅ → D_m+1=∅ (모든 m에 대해)
8STEP 8

−231이 정말 되는지 확인하고 더하기

더하면 -226, 보기 (A).

f₅(-231)=1-√(4-√(9-√(16-√(25+231))))=0, N+c=5+(-231)=-226 (A)
정답
-226
설계된 함정은 선택지 (D)다. f₄의 정의역은 한 점 {16}이고 4+16=20, 정확히 (D)이다. "f_N의 정의역이 {c}"라는 문장을 '한 점짜리 정의역이 처음 나오면 멈춰도 된다'는 허락으로 읽은 사람이 여기에 걸린다. 즉 문제의 '한 점' 단서는 N을 전혀 결정해 주지 않는다. N을 결정하는 것은 D₅={-231}이 아직 공집합이 아니고 D₆부터는 전부 공집합이라는 사실이다. 선택지 (C) -20은 같은 함정의 부호를 뒤집은 것이고, (B) -144와 (E) 144는 사슬의 어느 단계와도 맞지 않는다. 살아남은 값에 대한 산술 확인 두 가지: 25-256=-231이고 5-231=-226이다. 합이 c에 완전히 지배되므로 답이 작은 수들 근처가 아니라 큰 음수인 것이 자연스럽다. 구조적 확인도 들어맞는다. D₁,D₂,…의 모양은 반직선, 구간, 구간, 한 점, 한 점, 공집합으로 가며 R₃={0}에서 붕괴한 뒤로는 결코 다시 커지지 않는데, 이는 두 번째 단계의 전단사가 예고한 그대로다.
💡핵심 정리

제곱근은 0 이상인 수만 돌려주므로 앞 정의역의 음수 부분은 아무 쓸모가 없고, 쓸 수 있는 나머지가 단 하나의 값 0으로 줄어드는 순간부터 사슬은 다 떨어질 때까지 하나의 수에 묶인다.

  • 정의역 규칙을 정확히 쓰기
  • 음이 아닌 부분만 도달 가능하다
  • f₁에서 사슬을 시작하기
  • 점화식을 두 번 돌리기
  • 붕괴 지점: R₃은 한 점
  • 한 점을 앞으로 밀어내기
  • 공집합은 계속 공집합
  • −231이 정말 되는지 확인하고 더하기

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