AMC 10 · 2011 · #23

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

complex-numbersfunction-compositionabsolute-value convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: complex-numbers

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 분수 사상을 네 번 적용하면 허용되는 모든 입력이 그대로 돌아온다. 가능한 크기의 폭을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\sqrt{2}-1$

(C)

$\sqrt{3}-1$

(D)

(E)

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

f(f(f(f(z))))를 하나의 거대한 분수로 펼치는 것은 승산이 없다. (pz+q)/(rz+s) 꼴의 사상은 네 개의 계수만으로 완전히 결정되고, 하나를 다른 하나에 대입하면 그 계수들이 정해진 행 곱하기 열 규칙으로 합쳐진다. 사상을 분수가 아니라 네 개의 수로 저장하면, 네 겹의 대입이 같은 작은 계산 두 번으로 바뀐다. 최종 네 계수를 손에 넣으면 조건 g(g(z))=z는 세 개의 방정식이 되는데, 그 구조를 들여다보면 셋 중 둘은 저절로 따라온다. 남는 것은 방정식 하나이고 그것이 두 갈래로 갈라진다. 그다음 극단의 원리와 삼각부등식이 |b|를 가두고, 구체적인 a 값이 양 끝이 실제로 달성됨을 확인해 준다.

1STEP 1

사상을 네 개의 수로 저장하기

그 사상은 네 수로 산다.

F(G(z))=(pp'+qr')z+(pq'+qs')/(rp'+sr')z+(rq'+ss')

2STEP 2

무너지는 경우 걸러내기

무너지는 한 경우를 먼저 걸러낸다.

b=a → f≡ 1 → g(g(z)) 는 상수 ≠ z

3STEP 3

규칙을 두 번 돌리기

두 번 돌려도 같은 꼴이 유지된다.

g(z)=(a+1)z+a(b+1)/(b+1)z+(a+b²), h(z)=(Pz+Q)/(Rz+S) ; P=(a+1)²+a(b+1)², Q=a(b+1)(b²+2a+1) ; R=(b+1)(b²+2a+1), S=a(b+1)²+(a+b²)²

4STEP 4

등식을 방정식으로 바꾸기

항등 조건이 세 방정식이 된다.

(Pz+Q)/(Rz+S)=z ⟺ Rz²+(S-P)z-Q=0 ⟺ R=0, P=S, Q=0, P ≠ 0

5STEP 5

셋 중 둘은 저절로 따라온다

그중 둘은 첫째에서 저절로 따라온다.

Q=aR, P-S=(a+1)²-(a+b²)²=(1-b)R ; → R=0 만으로 Q=0, P=S

6STEP 6

방정식을 갈라 풀고 P를 살려 두기

그것이 두 갈래로 나뉜다.

(b+1)(b²+2a+1)=0 ; b=-1: P=(a+1)² ≠ 0⇔ a ≠ -1 ; b²+2a+1=0: P=-((b+1)⁴)/4 ≠ 0⇔ b ≠ -1

7STEP 7

각 갈래에서 b의 크기 재기

크기는 1과 루트 삼 사이다.

|b|²=|b²|=|-1-2a|=|1+2a| ; |2a|-|1| ≤ |1+2a| ≤ |1|+|2a| → 1 ≤ |b|² ≤ 3 → 1 ≤ |b| ≤ √(3)

8STEP 8

양 끝이 실제로 도달됨을 보이기

양 끝에 모두 닿으므로 폭은 √3-1이다.

a=1: b²=-3, b=± i√(3), |b|=√(3) ; a=-1: b²=1, b=1, |b|=1 ; √(3)-1

정답

√(3)-1

답 √(3)-1≈ 0.73은 작은 값인데, 이는 타당하다. 두 갈래 모두 |b| ≥ 1을 강제하므로 |b|는 좁은 구간에 갇혀 아주 작아지지도 아주 커지지도 못한다. (A) 0은 |b|가 한 값으로 고정된다는 뜻이지만, b=-1과 b=i√(3)이 모두 작동하고 크기가 서로 다르므로 (A)는 탈락이다. (E) 2가 되려면 |b|가 3까지 가야 하고 그러려면 |b²|=9여야 하는데 |1+2a|는 3을 넘을 수 없다. (D) 1은 |b|² ≤ 3을 |b| ≤ 3으로 착각하거나 |b²|∈[1,3] 단계에서 멈춰 거기서 빼 버릴 때 나오는 값이라 진짜 함정이다. 3-1=2와 √(3)-1이 모두 선택지에 있기 때문이다. 독립적인 안전 점검도 두 번 통과했다. a=1, b=i√(3)과 a=i, b=-1을 f에 네 번 대입하면 처음의 z가 정확히 되돌아오고, 무너지는 구석 a=b=-1은 언제나 |b|=1만 내놓는데 이는 이미 구간 안의 값이라 양 끝을 움직일 수 없다.

💡핵심 정리

(z+a)/(z+b) 같은 사상은 결국 네 개의 계수일 뿐이고 합성은 그 계수를 격자처럼 곱하는 일이다. 이것이 보이는 순간 "네 번 적용해서 z로 돌아온다"는 조건은 방정식 하나 (b+1)(b²+2a+1)=0으로 줄고, |a|=1이 |b|를 1과 √(3) 사이로 조인다.

사상을 네 개의 수로 저장하기
무너지는 경우 걸러내기
규칙을 두 번 돌리기
등식을 방정식으로 바꾸기
셋 중 둘은 저절로 따라온다
방정식을 갈라 풀고 P를 살려 두기
각 갈래에서 b의 크기 재기
양 끝이 실제로 도달됨을 보이기