AMC 10 · 2011 · #12
학년 8 geometry-2dprobability geometric-probabilityarea-rectanglesarea-triangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
정팔각형 판이 가운데 정사각형, 직사각형 넷, 모서리 삼각형 넷으로 잘린다. 가운데에 맞을 확률을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$
(B)
$\frac{1}{4}$
(C)
$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$
(D)
$\frac{\sqrt{2}}{4}$
(E)
$2 - \sqrt{2}$
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
다트가 고르게 꽂히므로 확률은 한 넓이를 다른 넓이로 나눈 비일 뿐이라, 실제 치수가 아니라 비만 있으면 된다. 팔각형은 다루기 어려우니 잴 수 있는 조각들로 쪼갠다: 가운데 정사각형 하나, 직사각형 넷, 모서리 삼각형 넷. 비는 크기에 영향받지 않으니 조각의 크기를 편하게 정하고, 팔각형 넓이를 모두 더한 뒤 정사각형 넓이를 그 값으로 나눈다.
1STEP 1
확률을 넓이의 비로 바꾸기
확률은 단순한 넓이의 비다.
P = (가운데 정사각형의 넓이)/(팔각형의 넓이)
고르게 퍼진 과녁에서 확률은 겨냥하는 부분이 전체에서 차지하는 비율일 뿐이다.
고르게 퍼진 과녁에서 확률은 겨누는 부분이 전체에서 차지하는 몫일 뿐이다.
▸ 왜?
모든 점이 똑같이 일어날 만하면, 어떤 영역의 확률은 그것이 전체에서 차지하는 몫이다.
동등한 확률모든 결과가 동등하게 일어난다면, 사건의 확률은 유리한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 것이다.
▸ 왜?
전체 넓이는 조각을 모은 것 그대로이므로, 잘라서 조각을 더해도 안전하다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
팔각형을 간단한 조각으로 자르기
잘린 조각은 모두 아홉이다.
팔각형 = 1 정사각형 + 4 직사각형 + 4 모서리 삼각형
어려운 도형도 이미 넓이를 아는 정사각형, 직사각형, 삼각형으로 쪼개면 쉬워진다.
6.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
모서리 삼각형과 공유하는 길이 재기
모서리 삼각형 하나가 공유하는 길이를 정한다.
빗변 = √(1² + 1²) = √(2); 4 × 1/2(1)(1) = 2
모서리의 비스듬한 절단선은 직각삼각형의 빗변이므로 피타고라스 정리가 그 길이를 알려 준다.
8.G.B.7Introduce A Variable4STEP 4
정사각형과 직사각형 넓이 재기
정사각형과 직사각형이 바로 따라 나온다.
정사각형 = (√(2))² = 2; 4 직사각형 = 4(1 · √(2)) = 4√(2)
각 조각의 변의 길이만 알면 넓이는 가로 곱하기 세로일 뿐이다.
6.G.A.1Identify Subproblems5STEP 5
모두 더하고 나누기
나누고 유리화하면 보기 (B)다.
P = 2/(4 + 4√(2)) = 1/(2(1+√(2))) = (√(2)-1)/2
분모의 제곱근을 없애면 지저분한 분수가 보기 중 하나로 정리된다.
8.NS.A.1Eliminate Possibilities정답
(√(2) - 1)/2
가운데 정사각형은 아홉 영역 중 하나이고 판에서 가장 큰 부분이 결코 아니므로, 확률이 1/3보다 훨씬 작게 나오는 것이 자연스럽다. 수치로 (루트 2 빼기 1) 나누기 2는 약 0.207, 대략 1/5로 그림에서 가운데 사각형이 작아 보이는 것과 맞는다. 다른 보기들은 더 크거나, 1/4처럼 정확한 넓이 계산을 통과하지 못한다.
💡핵심 정리
고른 과녁에서 확률은 목표의 넓이를 전체 넓이로 나눈 값일 뿐이니, 어려운 도형은 잴 수 있는 정사각형, 직사각형, 삼각형으로 쪼개라.
- 확률을 넓이의 비로 바꾸기
- 팔각형을 간단한 조각으로 자르기
- 모서리 삼각형과 공유하는 길이 재기
- 정사각형과 직사각형 넓이 재기
- 모두 더하고 나누기
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