AMC 10 · 2011 · #13
학년 7 logicalgebra답을 골라 클릭하세요.
네 수는 오직 서로의 간격을 통해서만 작용하므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이웃 간격 세 개 a=w-x, b=x-y, c=y-z를 이름 붙인다. 그러면 여섯 개의 쌍별 차는 모두 연속한 간격들의 합이 되어 문제가 작은 방정식 몇 개로 바뀐다. 여섯 차를 모두 더하면 가운데 간격 b가 즉시 정해진다. 이어서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 남은 차들을 정리해 바깥 간격을 찾고, 도구 #3(가능성 지우기)로 정수가 되지 않는 배열을 걸러내면 w 값을 더할 두 수 집합만 남는다.
이웃 간격 세 개에 이름 붙이기
이웃한 세 간격이 모든 것을 설명한다.
수들은 간격을 통해서만 서로 작용하므로 간격에 이름을 붙이면 중요한 것이 모두 담긴다.
6.EE.B.6Introduce A Variable여섯 차를 모두 더하기
여섯을 모두 더하면 가운데 간격이 1로 정해진다.
가운데 간격 b는 합에서 한 번 더 나타나므로 전체 합에서 나머지를 빼면 드러난다.
여섯 개의 차를 모두 더하면 가운데 간격이 한 번 더 세어지므로, 총합이 그것을 드러낸다.
▸ 왜?
각 차는 그것이 걸친 간격으로 이루어지므로, 총합은 간격을 겹쳐 센 것이다.
▸ 왜?
바깥 간격은 저마다 같은 횟수로 덮이므로, 가운데 간격만이 두드러진다.
바깥 간격 두 개 찾기
바깥 두 간격은 3과 5여야 한다.
두 간격과 각 간격에 1을 더한 값이 네 칸을 채워야 하므로 합이 8인 짝만이 들어맞는다.
7.EE.B.4Make A Systematic List각 간격 배열을 실제 수로 바꾸기
각 배열이 자기 최댓값을 준다.
간격이 정해지면 고정된 합 44가 가장 큰 수를 하나의 값으로 못 박는다.
6.EE.B.7Eliminate Possibilities가능한 w 값 더하기
그 합은 31, 보기 (A).
두 간격 배열이 모두 진짜 해를 만들므로 두 최댓값이 모두 합에 들어간다.
7.NS.A.1Introduce A Variable수 자체 대신 이웃 사이의 간격을 추적하면, 모든 쌍별 차가 풀 수 있는 짧은 합으로 바뀐다.
- 이웃 간격 세 개에 이름 붙이기
- 여섯 차를 모두 더하기
- 바깥 간격 두 개 찾기
- 각 간격 배열을 실제 수로 바꾸기
- 가능한 w 값 더하기