AMC 10 · 2011 · #15
학년 8 number-theorycounting답을 골라 클릭하세요.
이 문제는 "몇 개인가"를 묻고, 그 개수는 뒤에 깔린 목록이 빠짐도 중복도 없을 때만 믿을 수 있다. 그래서 답을 실제로 만들어 내는 도구는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)다. 다만 나열하려면 재료가 먼저 필요하다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 여덟 자리 수 2²⁴-1을 제곱의 차, 이어서 세제곱의 합으로 잘라 인수분해할 수 있는 크기로 만든다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)이 탐색 범위를 줄인다. 소수 241은 이미 어떤 두 자리 수보다도 크므로 241을 품은 약수는 후보가 될 수 없다. 마지막 나열은 3의 거듭제곱을 기준으로 줄을 나눈다. 모든 약수가 그런 표현을 꼭 하나씩만 가지기 때문에, 그 유일성이 빠짐과 중복을 동시에 막아 준다.
인수분해 문제로 바꾸기
이것은 사실 인수분해 문제다.
약수는 그 수에 없는 재료를 쓸 수 없으므로, 소인수분해가 문제 전체를 결정한다.
4.OA.B.4Identify Subproblems제곱의 차로 쪼개기
제곱의 차가 대부분의 일을 한다.
짝수 지수를 반으로 나누면 수가 제곱수보다 1 작은 꼴이 되고, 그런 수는 언제나 두 인수로 갈라진다.
짝수인 지수를 반으로 나누면 그 수가 제곱 빼기 1로 다시 쓰이며, 그것은 언제나 두 인수로 갈라진다.
▸ 왜?
두 제곱의 차는 두 양의 합에 그 차를 곱한 것이다.
▸ 왜?
약수는 그 수에 없는 재료를 쓸 수 없으므로, 소인수 조리법이 모든 것을 정한다.
남은 조각까지 모두 분해하기
마지막 조각이 두 소수로 더 쪼개진다.
세제곱의 합에는 고유한 분해 규칙이 있어서, 제곱의 차가 건드리지 못한 조각을 깨 준다.
6.NS.B.2Identify Subproblems241이 소수임을 증명하기
그중 하나는 진짜 소수이고 너무 크다.
두 인수 중 작은 쪽은 결코 제곱근을 넘지 못하므로, 여섯 번의 나눗셈이면 소수 판정이 끝난다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities너무 큰 소수 걸러내기
그것을 버리면 훨씬 작은 수가 남는다.
목표 범위 전체보다 큰 소수는 그 범위 안의 수에 숨어 있을 수 없다.
6.EE.A.1Eliminate Possibilities3의 거듭제곱으로 줄 세우기
약수를 훑으면 12, 보기 (C).
소인수분해의 유일성 덕분에 약수마다 목록 속 자리가 딱 하나여서, 정해진 순서로 훑으면 각각을 한 번씩만 만난다.
4.OA.B.4Make A Systematic List큰 수를 먼저 소수까지 쪼갠 다음 약수를 정해진 순서로 훑으면, 두 자리 약수를 빠뜨리지도 두 번 세지도 않는다.
- 인수분해 문제로 바꾸기
- 제곱의 차로 쪼개기
- 남은 조각까지 모두 분해하기
- 241이 소수임을 증명하기
- 너무 큰 소수 걸러내기
- 3의 거듭제곱으로 줄 세우기