AMC 10 · 2011 · #21

학년 9 number-theoryalgebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

mean-median-mode-rangedigit-decompositionperfect-squaresdifference-of-squares convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

두 정수의 산술평균이 두 자리 수이고, 기하평균은 그 수를 뒤집은 값이다. 둘의 차를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

"자리를 뒤바꾼다"는 말은 각 자리 숫자에 이름을 붙여야 비로소 식이 된다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)가 핵심이다. 두 자리 산술평균을 10a+b로 두면 뒤바꾼 수는 10b+a가 된다. 문제를 실제로 깨뜨리는 것은 도구 #15(다르게 정리하기)이다. x와 y를 직접 쫓는 대신 (x-y)²을 (x+y)²-4xy로 바꾸면 두 평균만으로 이루어진 식이 되고, 이를 인수분해하면 소수 11이 튀어나온다. 도구 #14(극단의 원리)는 남은 재료 하나를 준다. 자리 숫자는 0부터 9 사이에 갇혀 있고, 바로 이 범위가 자리 숫자의 합을 하나로 못 박는다. 도구 #3(가능성 지우기)은 남은 후보를 홀짝으로 정리한다. 마지막으로 도구 #11(거꾸로 풀기)로 찾아낸 자리 숫자에서 실제 x, y를 되살린다. 이 단계가 "그런 수가 있다면 이래야 한다"를 넘어 "그런 수가 실제로 있다"를 보이는 단계다.

1STEP 1

평균의 자리 숫자에 이름 붙이기

두 자리 숫자가 두 평균을 모두 설명한다.

x+y = 2(10a+b), xy = (10b+a)², a ＞ b

2STEP 2

차이를 두 평균만으로 나타내기

차의 제곱이 두 평균에서 곧장 나온다.

(x-y)² = 4(M-G)(M+G) = 396(a-b)(a+b)

3STEP 3

차가 정수이면 완전제곱이어야 한다

차가 정수이면 완전 제곱이 강제된다.

|x-y| = 6√(11(a-b)(a+b)), 11 ∣ (a-b)(a+b)

4STEP 4

자리 숫자의 한계가 합을 못 박는다

자리 숫자의 한계가 합을 11로 못박는다.

1 ≤ a-b ≤ 9, 1 ≤ a+b ≤ 17 → a+b = 11 → |x-y| = 66√(a-b)

5STEP 5

홀짝으로 나머지 후보 지우기

남은 후보는 홀짝에서 걸린다.

a+b = 11, a-b = 1 → a = 6, b = 5

6STEP 6

x와 y를 되살려 확인하기

두 수를 되살리면 66이 확인된다, 보기 (D).

x = 98, y = 32: (98+32)/2 = 65, √(98 · 32) = 56, |x-y| = 66 → (D)

정답

찾은 쌍이 정확히 들어맞는다. (98+32)/2 = 65, √(98 · 32) = 56이고 56은 65를 뒤집은 수이므로, |x-y| = 66은 단지 허용되는 값이 아니라 실제로 달성되는 값이다. 어느 단계가 무게를 지고 있는지 보는 것이 중요하다. |x-y| = 6√(11(a-b)(a+b))에서 "그러니 6의 배수이면서 11의 배수, 따라서 66"이라고 말하고 싶어지지만, 그것은 선택지에 66의 배수가 하나뿐이라서 통하는 것일 뿐 132나 198도 똑같이 만족한다. 그 후보들을 실제로 지우는 것은 자리 숫자에 대한 계산이다. a+b ≤ 17이 a+b=11을 강제하고, 11이 홀수라는 점이 a-b를 홀수로 만들어 a-b=4(132가 될 뻔한 경우)를 지우며, a=10은 자리 숫자가 아니므로 a-b=9(198이 될 뻔한 경우)도 지워진다. 두 자리 평균 90가지를 전부 훑어봐도 성립하는 것은 65와 56 한 쌍뿐이다.

💡핵심 정리

두 자리 평균을 10a+b로, 뒤집은 수를 10b+a로 쓰면 둘의 합과 차에 11과 9가 숨어 있고, 자리 숫자는 9를 넘지 못하므로 그 11이 갈 곳은 한 군데뿐이다.

평균의 자리 숫자에 이름 붙이기
차이를 두 평균만으로 나타내기
차가 정수이면 완전제곱이어야 한다
자리 숫자의 한계가 합을 못 박는다
홀짝으로 나머지 후보 지우기
x와 y를 되살려 확인하기