AMC 10 · 2011 · #22

학년 8 geometry-2dpattern

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

recursive-sequencesequences-geometricpolygon-inequality pattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-geometric

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

각 삼각형의 내접원 접점이 다음 삼각형의 변이 되고, 결국 존재하지 않게 된다. 마지막 둘레를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1509}{8}$

(B)

$\frac{1509}{32}$

(C)

$\frac{1509}{64}$

(D)

$\frac{1509}{128}$

(E)

$\frac{1509}{256}$

풀이 과정

전략 패턴 찾기

삼각형을 하나하나 손으로 나열하면 느리므로 Tool #5 (패턴 찾기)가 기준점이다: 한 삼각형이 다음 삼각형으로 어떻게 바뀌는지 알아내고 반복되는 규칙을 찾는다. Tool #4 (변수 도입하기)로 가운데 변의 길이를 이름 붙이면 그 규칙이 깔끔해지고, 둘레가 매 단계 절반이 되며 변의 모양이 그대로 유지됨이 드러난다. 그러면 남는 질문은 줄어드는 변이 언제 너무 치우쳐 삼각형을 못 이루는가뿐이며, Tool #14 (극단의 원리)로 삼각형 부등식을 한계까지 밀어붙여 마지막으로 살아남는 단계를 짚어낸다.

1STEP 1

접점을 새 변의 길이로 바꾸기

접점이 다음 변을 곧장 준다.

AD = s-a, BE = s-b, CF = s-c

2STEP 2

모양이 그대로이고 절반이 됨을 보기

세 변이 연속인 채로 그저 절반이 된다.

m-1, m, m+1 ⟶ m/2-1, m/2, m/2+1

3STEP 3

n 단계 뒤의 가운데 변 쓰기

따라서 둘레에 닫힌 식이 있다.

m_n = 2012/(2^ n-1), P_n = 6036/(2^ n-1)

4STEP 4

삼각형이 언제 존재를 멈추는지 찾기

가운데 변이 2 아래로 떨어지면 멈춘다.

(m-1)+m ＞ m+1 ⟹ m ＞ 2

5STEP 5

마지막으로 살아남는 삼각형 풀기

마지막 둘레는 1509/128, 보기 (D).

2^ n-1 ＜ 1006 → n = 10; P₁₀ = 6036/512 = 1509/128

정답

1509/128

둘레는 깔끔하게 절반이 된다: 6036, 3018, 1509, … 로 내려가 P₁₀ = 1509/128 ≈ 11.79에 이른다. 바로 다음 값 P₁₁ ≈ 5.89는 변이 대략 0.96, 1.96, 2.96이 되어 0.96 + 1.96 = 2.92 ＜ 2.96 — 두 짧은 변이 가로지르지 못해 삼각형이 안 되므로, T₁₀ 에서 멈춤이 확인된다. 모든 선택지가 분자 1509 = 3 × 503을 가지고 오직 2의 거듭제곱만 다르므로, 문제 전체는 올바른 지수를 찾는 것으로 귀결된다; 128 = 2⁷이 (D)와 맞는다.

💡핵심 정리

새 삼각형의 둘레는 언제나 직전 삼각형의 정확히 절반이므로, 세 변이 너무 치우쳐 닫히지 못할 때까지 계속 반으로 줄여 나가면 — 아직 닫히는 마지막 삼각형이 답이다.

접점을 새 변의 길이로 바꾸기
모양이 그대로이고 절반이 됨을 보기
n 단계 뒤의 가운데 변 쓰기
삼각형이 언제 존재를 멈추는지 찾기
마지막으로 살아남는 삼각형 풀기

접점을 새 변의 길이로 바꾸기

모양이 그대로이고 절반이 됨을 보기

n 단계 뒤의 가운데 변 쓰기

삼각형이 언제 존재를 멈추는지 찾기

마지막으로 살아남는 삼각형 풀기

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