AMC 10 · 2011 · #23
학년 7 countinggeometry-2d답을 골라 클릭하세요.
경로는 나열하기엔 너무 많으므로 Tool #16 (관점 바꾸기)이 풀이를 떠받친다: 경로를 생각하기를 그만두고, 대신 각 점마다 하나의 질문을 던진다 — 이 점을 지나면서 A 에서 B 로 가는 가장 싼 경로의 길이는 얼마인가? 이 한 숫자가 그 점의 포함 여부를 결정하며, 결정한다는 것을 양방향으로 보여야 한다: 충분한 예산이 필요조건이고, 가장 싼 값을 실제로 달성하는 경로를 만들 수 있으므로 충분조건이기도 하다. Tool #4 (변수 도입하기)로 그 비용을 x 와 y 에 대한 부등식으로 바꾸면 가로 부분과 세로 부분으로 분리된다. Tool #14 (극단의 원리)는 그 부등식을 지출 한도로 읽는다 — 예산이 바닥나기 전에 점이 A 와 B 사이 상자 밖으로 얼마나 멀리 나갈 수 있는가. Tool #1 (그림 그리기)로 그 한도를 구체적인 영역으로 바꾸고, Tool #2 (빠짐없이 나열하기)로 그 안의 정수 점을 세로줄 단위로 센다.
"경로 위에 있다"를 판정식으로 바꾸기
도달 가능성은 하나의 거리 판정이다.
어떤 점은 그 점을 스치는 가장 싼 우회로가 길이 예산 안에 들어올 때에만 세어진다.
6.EE.B.5Change Focus Count The Complement판정식을 좌표로 쓰기
그 판정은 좌표로 깔끔하게 쓰인다.
옆으로 가는 비용과 위아래로 가는 비용은 따로 지불되므로, 조건이 x 부분과 y 부분으로 갈라진다.
6.NS.C.8Introduce A Variable각 부분은 간격 더하기 초과분의 두 배
각 부분은 간격에 초과분의 두 배를 더한 것이다.
곧장 가면 10이 들고, A 와 B 사이 상자 밖으로 한 칸 벗어날 때마다 2가 더 드니, 남는 10 으로는 정확히 5 칸만큼 벗어날 수 있다.
곧장 가면 순수한 거리만 들고, 상자 밖으로 벗어난 한 칸마다 2가 더 든다.
▸ 왜?
여정은 옆으로 가는 부분과 위아래로 가는 부분을 더한 것이므로, 예산이 그 둘로 나뉜다.
▸ 왜?
밖으로 나간 한 걸음은 되돌아와야 하므로 두 번 치러지고, 곧장 가는 부분은 그대로다.
허용되는 영역 그려 보기
그러면 작은 계단 모양 영역이 남는다.
벗어날 예산을 옆쪽과 위아래쪽이 나눠 써야 하고, 바로 그것이 바깥 직사각형의 모서리를 잘라낸다.
6.G.A.3Draw A Diagram세로줄마다 점 세기
세로줄마다 세는 것은 쉽다.
한 줄이 옆으로 가는 데 예산을 얼마나 쓰든, 남은 예산이 그 줄의 높이를 결정한다.
7.EE.B.4Make A Systematic List세로줄 더하기
합계는 195, 보기 (E).
세로줄을 하나씩 따로 센 다음, 그 줄들을 더한다.
4.OA.A.3Make A Systematic ListA 에서 B 로 곧장 가면 10 걸음이 들고 그 사이 상자 밖으로 한 칸 벗어날 때마다 2 걸음이 더 드니, 20 걸음으로는 딱 5 칸만큼 벗어날 수 있다 — 그 예산 안에 들어오는 점을 세면 된다.
- "경로 위에 있다"를 판정식으로 바꾸기
- 판정식을 좌표로 쓰기
- 각 부분은 간격 더하기 초과분의 두 배
- 허용되는 영역 그려 보기
- 세로줄마다 점 세기
- 세로줄 더하기
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