AMC 10 · 2011 · #4
학년 4 number-theory prime-factorizationdigit-decompositionplace-value work-backwards ↑ 선수 지식: prime-factorization
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 자리 인수를 거꾸로 써서 잘못된 곱이 나왔다. 올바른 곱을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
116
(B)
161
(C)
204
(D)
214
(E)
224
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기
잘못된 곱 161은 론의 실수가 끝난 지점이고, 우리는 그가 출발한 수를 찾아야 하므로 도구 #11(거꾸로 풀기)이 알맞다. 161을 인수분해해 그가 실제로 곱한 두 수를 되찾는다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 어느 인수가 뒤바꾼 두 자리 수인지 고른다. 두 자리인 인수는 하나뿐이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 나머지를 작은 단계로 나눈다. 자릿수를 되돌려 a를 얻고, 올바른 곱셈을 한다.
1STEP 1
잘못된 곱을 인수분해하기
잘못된 곱이 두 소수로 쪼개진다.
161 = 7 × 23
잘못된 답을 인수로 쪼개면 론이 실제로 곱한 두 수가 드러난다.
틀린 답을 인수로 가르면 실제로 곱해진 두 수가 드러난다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 곱으로 적는 방법은 미리 정해져 있다.
소인수분해의 유일성1보다 큰 모든 정수는 (순서를 제외하면) 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 나타난다.
▸ 왜?
약수는 곱해서 그 수가 되는 짝으로 오므로, 한 인수를 정하면 그 짝도 정해진다.
약수는 짝을 이룬다약수는 저마다 짝을 함께 내주므로 둘씩 짝지어진다 — 자기 자신이 짝인 경우만 예외다.
2STEP 2
뒤바꾼 두 자리 인수 고르기
그중 두 자리인 것은 하나뿐이다.
뒤바꾼 a = 23, b = 7
두 자리 수는 오직 두 자리 인수만 될 수 있으므로 나머지 경우는 모두 지워진다.
1.NBT.B.2Eliminate Possibilities3STEP 3
자릿수를 되돌려 a 구하기
자릿수를 되돌리면 참된 인수가 나온다.
23 → a = 32
뒤집은 것을 다시 뒤집으면 원래 수로 돌아온다.
1.NBT.B.2Identify Subproblems4STEP 4
올바르게 곱하기
곱하면 224, 보기 (E).
a × b = 32 × 7 = 224 → (E)
진짜 자릿수가 제자리로 돌아오면 올바른 곱은 그냥 곱셈일 뿐이다.
4.NBT.B.5Identify Subproblems정답
224
이야기를 양쪽으로 확인하자. 뒤바꾼 a = 23에 b = 7을 곱하면 23 × 7 = 161로 론의 잘못된 곱과 정확히 같으니 인수분해가 맞다. 참된 a = 32에 b = 7을 곱하면 224이고, 이는 161보다 조금 더 크다. 32 ＞ 23이므로 자연스러운 결과다. 답 224는 선택지 (E)이고, 솔깃한 161(선택지 B)은 잘못된 곱일 뿐 올바른 값이 아니다.
💡핵심 정리
잘못된 답을 인수로 쪼개고, 두 자리 인수를 원래 수로 되돌린 뒤 다시 곱하면 참된 곱이 나온다.
- 잘못된 곱을 인수분해하기
- 뒤바꾼 두 자리 인수 고르기
- 자릿수를 되돌려 a 구하기
- 올바르게 곱하기