AMC 10 · 2011 · #5
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
어려운 곳은 "두 번째"라는 말이다. 조건을 만족하는 수 하나를 찾기는 쉽지만, 순위를 매기려면 목록 전체가 필요하다. 도구 #14(극단의 원리)가 그 목록을 준다. 조건을 만족하는 가장 작은 수 L을 잡고 그 최소성을 지렛대로 쓴다. 조건을 만족하는 어떤 수든 L로 나눈 나머지를 남기는데, 그 나머지도 조건을 만족하면서 L보다 작으므로 0일 수밖에 없다. 따라서 조건을 만족하는 수는 정확히 L, 2L, 3L, …이고 두 번째로 작은 것은 2L이다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 여섯 개의 나누어떨어짐 조건을 셋으로 줄인다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 공식 없이 짧은 유한 탐색만으로 L을 찾는다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체를 L 찾기, 목록 증명하기, 자릿수 더하기로 나눈다.
여섯 조건을 셋으로 줄이기
여섯 조건이 셋으로 줄어든다.
4의 배수는 자동으로 2의 배수이므로 작은 요구들은 이미 값이 치러져 있다.
4의 배수는 이미 2의 배수이므로, 작은 조건은 큰 조건이 대신 치러 준다.
▸ 왜?
여러 배수 조건을 동시에 만족하는 것은 그 최소공배수 하나의 조건을 만족하는 것이다.
▸ 왜?
4로 나누어떨어지는 수는 2로도 나머지가 없으므로, 약한 조건은 보태는 것이 없다.
가장 작은 수를 훑어 찾기
그런 수 중 가장 작은 것은 60이다.
다섯 번째 수마다만 조건을 만족할 수 있으므로, 5의 배수를 짧게 걸어가면 가장 작은 경우가 손으로 결판난다.
6.NS.B.4Make A Systematic List목록이 60, 120, 180, …임을 증명하기
나머지는 모두 그것의 배수다.
남은 나머지는 모든 나누어떨어짐 성질을 물려받으면서 가장 작은 수보다 작아지는데, 그것은 불가능하므로 나머지는 사라져야 한다.
4.NBT.B.6Extreme PrincipleN의 자릿수 더하기
두 번째 것의 자릿수 합은 3, 보기 (A).
올바른 수만 손에 쥐면 마무리는 순수한 자릿값이다. 숫자를 읽어 더하기만 하면 된다.
2.NBT.A.1Identify Subproblems모든 규칙을 만족하는 가장 작은 수를 찾고, 나머지 논증으로 다른 수들이 모두 그 배수임을 보인 뒤, 목록을 세어 나가면 된다. 60 다음은 120이다.
- 여섯 조건을 셋으로 줄이기
- 가장 작은 수를 훑어 찾기
- 목록이 60, 120, 180, …임을 증명하기
- N의 자릿수 더하기