AMC 10 · 2011 · #6
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
길이는 하나도 주어지지 않고 비만 주어졌으므로, 모든 것을 그림에서 끌어내야 한다(도구 #1). 중심 O와 반지름 OB, OC를 그린다. 접선과 원의 중심을 이어 주는 유일한 사실이 "접선은 접점에서 반지름과 수직"이기 때문이다. 도구 #4로 비 2 : 3을 호의 크기 2x와 3x로 바꾸고, 그 합이 360°라는 식을 세운다. 도구 #7로 그림을 두 직각삼각형 OBA, OCA로 쪼개어 각을 추적한다. 도구 #14는 이 비가 조용히 던지는 질문 — 두 접선이 정말로 만나는가 — 을 두 접선이 평행해지는 경계 상황을 시험해 해결한다.
중심과 반지름을 그린다
중심과 두 반지름이 그림을 완성한다.
두 접점을 똑같은 방식으로 바라보는 점은 중심뿐이므로 중심을 먼저 그림에 넣는다.
10.G-CO.A.1Draw A Diagram호의 길이 비는 곧 호의 각도 비
호 길이의 비는 각의 비다.
같은 원이면 1도당 길이가 같으므로, 길이의 비는 사실 각도의 비를 다르게 쓴 것이다.
한 원에서는 같은 길이가 언제나 같은 각도를 걸치므로, 길이의 비가 곧 각도의 비다.
▸ 왜?
호는 그 각이 원 전체에서 차지하는 몫이므로, 길이와 각은 한 가지를 두 가지로 읽은 것이다.
▸ 왜?
반지름이 정해져 있으면 둘이 발맞추어 함께 오르므로, 어느 쪽으로 재든 비가 같다.
한 바퀴를 2 대 3으로 나눈다
한 바퀴를 나누면 중심각이 144도다.
360°를 다섯 등분하면 한 조각이 72°이고, 두 조각과 세 조각이 144°와 216°다.
6.RP.A.3Introduce A Variable두 접선이 실제로 만나는지 확인
두 접선이 실제로 만난다.
두 접선이 평행해져 A가 무한히 멀어지는 경우는 지름으로 나뉠 때뿐인데, 2 : 3은 지름 분할이 아니다.
4.G.A.2Extreme Principle접선과 반지름은 직각으로 만난다
각 접선은 반지름과 직각으로 만난다.
중심에서 접선까지 가는 가장 짧은 길은 반지름을 따라 곧장 나가는 길이고, 가장 짧다는 것은 곧 수직이라는 뜻이다.
10.G-C.A.2Draw A Diagram중심을 잇는 선이 중심각을 이등분한다
중심을 잇는 선이 중심각을 이등분한다.
그림이 직선 OA에 대해 거울처럼 대칭이므로, 그 직선이 중심각을 정확히 반으로 가른다.
10.G-SRT.B.5Identify Subproblems직각삼각형 하나에서 각의 합
직각삼각형 하나가 답의 절반인 18도를 준다.
직각삼각형에서 나머지 두 각은 서로 여각이므로 90° - 72° = 18°이다.
8.G.A.5Identify SubproblemsA에서 두 절반을 더한다
두 배 하면 36도, 보기 (C).
거울처럼 마주 본 18° 두 조각이 A에서 만나 36°를 만든다.
4.MD.C.7Identify Subproblems두 접점으로 반지름을 그어 보자. 접선은 언제나 반지름과 직각으로 만나고, 두 호가 144°와 216°임을 알고 나면 두 접선이 이루는 각은 180°에서 작은 호를 뺀 값, 곧 36°이다.
- 중심과 반지름을 그린다
- 호의 길이 비는 곧 호의 각도 비
- 한 바퀴를 2 대 3으로 나눈다
- 두 접선이 실제로 만나는지 확인
- 접선과 반지름은 직각으로 만난다
- 중심을 잇는 선이 중심각을 이등분한다
- 직각삼각형 하나에서 각의 합
- A에서 두 절반을 더한다