AMC 10 · 2011 · #7
학년 7 rate-ratio답을 골라 클릭하세요.
도구 #13 (대수로 바꾸기): "평균이 60"은 문장일 뿐이고, 이를 x+y=120으로 바꿔야 두 수 사이의 연결이 드러난다. 도구 #15 (다르게 정리하기): x/y를 y만 나오도록 고쳐 쓰면 미지수 두 개의 최댓값 문제가 미지수 한 개의 최솟값 문제로 바뀌는데, 이것이 이 문제의 핵심 난점이다. 도구 #14 (극단의 원리): 비가 변수 하나에만 의존하고 한 방향으로만 움직이면 답은 y가 허용되는 범위의 경계에 있으므로, 진짜 할 일은 그 경계를 정하는 조건이 무엇인지 찾는 것이다. 도구 #6 (추측하고 확인하기): 경계값은 그 위에 실제로 조건을 만족하는 쌍이 있어야 쓸모가 있으므로, 후보 쌍을 모든 조건에 대입해 확인한 뒤에 답으로 삼는다.
평균 60은 합이 고정된다는 뜻
평균이 정해지면 합이 정해진다.
두 수의 평균이 고정되었다는 것은 합이 고정되었다는 뜻이고, 합이 고정되면 한 수가 다른 수를 완전히 결정한다.
6.SP.B.5Convert To Algebra비를 y만으로 다시 쓰기
비를 문자 하나로 다시 쓴다.
비를 변수 하나로 나타내면 실제로 바꿀 수 있는 것이 하나뿐임이 보인다.
6.EE.A.3Organize Information In More Waysy가 작을수록 비는 항상 커진다
그 문자가 작아질수록 비는 커진다.
변수가 분모에만 있으면 분수는 그 변수가 가장 작은 곳에서 가장 크다.
오직 하나의 변수가 분모에만 있으면, 그 변수가 가장 작은 곳에서 분수가 가장 크다.
▸ 왜?
더 작은 양수로 나누는 것은 더 큰 역수를 곱하는 것이므로, 값이 오른다.
▸ 왜?
그 맞바꿈이 결코 뒤집히지 않으므로, 분수의 극단은 변수의 극단에 놓인다.
y의 하한은 10이 아니라 21
진짜 하한은 10이 아니라 21이다.
같은 값에 하한이 두 개 걸리면 더 큰 쪽만이 진짜 하한이다.
7.EE.B.4Extreme Principle경계의 쌍을 확인하고 계산하기
그 경계 쌍이 33/7을 준다, 보기 (B).
극단값은 그 값을 실제로 만드는 경우를 제시해야 비로소 인정된다.
6.EE.B.5Guess And Check합이 고정되면 한 수가 다른 수를 결정하므로, 미지수 두 개의 최댓값 문제는 사실 미지수 하나의 최솟값 문제이며, 앞을 막는 한계는 보고 있지 않던 수에서 오는 경우가 많다.
- 평균 60은 합이 고정된다는 뜻
- 비를 y만으로 다시 쓰기
- y가 작을수록 비는 항상 커진다
- y의 하한은 10이 아니라 21
- 경계의 쌍을 확인하고 계산하기