AMC 10 · 2012 · #11

학년 11 probability
유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count
probability-basicindependent-eventscombinations-basicfundamental-counting-principle identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
서로 무관한 각 라운드에 승자가 하나이고, 한 사람의 확률이 다른 사람에 묶여 있다. 주어진 승수 배분의 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{5}{72}$
(B)
$\frac{5}{36}$
(C)
$\frac{1}{6}$
(D)
$\frac{1}{3}$
(E)
1
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

이 문제는 세 개의 작은 문제로 깔끔하게 갈라진다(도구 #7). 한 라운드의 확률표는 무엇인가, 특정한 6라운드 배열 하나가 나올 확률은 얼마인가, 그리고 요구된 성적을 만드는 배열은 몇 개인가. 첫 번째는 도구 #4(변수 도입하기)로 처리한다. Mel과 Chelsea의 라운드별 확률을 m, c로 놓고 "승자가 한 명"과 "두 배"를 두 개의 식으로 바꾸면 된다. 세 번째는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 처리한다. 답을 A 세 개, M 두 개, C 한 개로 이루어진 6글자 단어로 보고, 어느 라운드가 누구에게 가는지를 정하는 방식으로 세면 된다. 많은 풀이가 건너뛰는 대목은 두 번째와 세 번째를 잇는 다리다. "배열 하나의 확률"에 "배열의 개수"를 곱하는 것이 정당한 이유는, 조건을 만족하는 모든 배열의 확률이 같고(곱은 인수의 순서에 무관하다) 서로 다른 배열이 배타적 사건이기 때문이다. 아래에서는 이 두 사실을 가정하지 않고 증명한다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 독립적인 교차검증을 제공한다. 같은 실험을 먼저 Alex인가 아닌가로 자르고, Alex가 진 라운드 안에서 다시 Mel인가 Chelsea인가로 잘라서, 두 경로가 같은 값에 도달하는지 확인한다.

1STEP 1

한 라운드의 확률 확정하기

한 라운드의 세 확률이 정해진다.

1/2+m+c=1, m=2c ⟹ 3c=1/2 ⟹ c=1/6, m=1/3
2STEP 2

6라운드 배열 하나의 값 매기기

조건에 맞는 어떤 배열도 값이 같다.

P(그런 배열 하나)=(1/2)³(1/3)²(1/6)¹=1/(8 · 9 · 6)=1/432
3STEP 3

조건을 만족하는 배열 세기

그런 배열이 60가지다.

C(6, 3)C(3, 2)C(1, 1)=20 · 3 · 1=60=6!/3! 2! 1!
4STEP 4

같은 크기의 조각들 더하기

곱하면 5/36, 보기 (B).

60·1/432=60/432=5/36 ⟹ (B)
정답
5/36
다항계수를 전혀 쓰지 않는, 구조가 다른 경로로 다시 계산해 보자. 먼저 각 라운드를 "Alex"인가 "Alex가 아닌가"로만 자르면, 성공 확률 1/2인 독립 시행 6번이므로 P(Alex가 정확히 3승)=C(6, 3)(1/2)⁶=20/64=5/16이다. 이제 Alex가 진 3개의 라운드에 조건을 걸자. Alex가 진 한 라운드 안에서 Mel이 이겼을 조건부 확률은 (1/3)/(1/2)=2/3, Chelsea가 이겼을 조건부 확률은 (1/6)/(1/2)=1/3이고, 이 라운드들 사이에서도 독립이다. 따라서 P(그 3개 중 정확히 2개가 Mel)=C(3, 2)(2/3)²(1/3)=3·4/9·1/3=4/9이다. 곱하면 5/16·4/9=20/144=5/36으로 같은 값이며, 60개의 순서가 모두 같은 확률을 가진다는 가정을 한 번도 쓰지 않고 얻었다. 크기 비교도 맞는다. 답은 P(Alex가 정확히 3승)=5/16=0.3125보다 반드시 작아야 하는데 5/36≈ 0.139로 실제로 작다. 오답도 진단된다. (D) 1/3은 Mel의 라운드별 확률일 뿐이고, (C) 1/6은 Chelsea의 라운드별 확률일 뿐이며, (E) 1은 다른 성적(예를 들어 Alex 6승)도 가능하므로 불가능하다. (A) 5/72는 Mel과 Chelsea의 확률을 서로 바꿔 넣었을 때 정확히 나오는 값이다: 60(1/2)³(1/6)²(1/3)=60/864=5/72. 따라서 5/72가 아니라 5/36이 나왔다는 사실 자체가, m=1/3을 한 번 이긴 사람이 아니라 두 번 이긴 사람에게 제대로 배정했음을 확인해 준다.
💡핵심 정리

"각 라운드에 승자가 한 명"이라는 조건이 1/2+m+c=1을 강제하고, 이것이 "Mel은 Chelsea의 두 배"를 m=1/3, c=1/6으로 바꿔 준다. 그러면 Alex 세 번, Mel 두 번, Chelsea 한 번의 60가지 순서가 모두 똑같이 1/432이므로 답은 60/432=5/36이다.

  • 한 라운드의 확률 확정하기
  • 6라운드 배열 하나의 값 매기기
  • 조건을 만족하는 배열 세기
  • 같은 크기의 조각들 더하기

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