AMC 10 · 2012 · #15
학년 8 geometry-2d probability-basicrotation-isometrycomplementary-counting complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
격자를 사분의 일 바퀴 돌리고 어두운 자리에 놓인 칸을 다시 칠한다. 전부 어두워질 확률을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{49}{512}$
(B)
$\frac{7}{64}$
(C)
$\frac{121}{1024}$
(D)
$\frac{81}{512}$
(E)
$\frac{9}{32}$
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
회전은 모서리와 변, 가운데를 서로 섞지 않으므로 9개 칸은 세 개의 독립된 그룹으로 나뉜다. 즉 가운데 1칸, 모서리 4칸의 고리, 변 4칸의 고리이다. 색칠 규칙을 특정한 흰색 짝을 금지하는 조건으로 다시 쓰고 나면, 각 그룹을 따로 세어 그 수들을 곱하면 된다. 격자를 이렇게 나누는 것이 얽힌 그림을 세 개의 작은 세기 문제로 바꾸는 핵심이다.
1STEP 1
회전이 무엇을 옮기는지 보기
회전이 모서리와 변을 고리로 돌린다.
모서리: TL → TR → BR → BL → TL; 변: T → R → B → L → T
4분의 1 회전은 각 칸 고리를 자기 원을 따라 한 칸씩 밀 뿐이다.
4분의 1 회전은 각 고리의 칸을 자기 원 둘레로 한 칸 밀 뿐이다.
▸ 왜?
회전은 판을 늘리지 않고 자기 위로 옮기므로, 각 칸이 다른 칸 위에 놓인다.
강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
▸ 왜?
4분의 1 회전 넷이 한 바퀴가 되므로, 각 고리는 네 자리로 이루어진 닫힌 원이다.
주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
2STEP 2
언제 칸이 흰색으로 끝나는지 다시 쓰기
두 칸이 모두 밝을 때만 그 자리가 밝게 끝난다.
자리가 흰색으로 끝난다 ⇔ (그 자리가 흰색) ∧ (그 위로 회전해 오는 칸이 흰색)
혼자 있는 흰 칸은 늘 덮이거나 덮어 칠하고, 고리에서 서로 쫓는 두 흰 칸만 살아남는다.
7.SP.C.7Change Focus Count The Complement3STEP 3
가운데, 모서리, 변으로 쪼개기
가운데, 모서리, 변이 따로 나뉜다.
N_검정 격자 = N_가운데 × N_모서리 × N_변, N_가운데 = 1
독립인 조각들은 곱해지므로, 하나의 거대한 세기 대신 세 개의 작은 세기가 된다.
7.SP.C.8Identify Subproblems4STEP 4
4칸 고리 하나 세기
네 칸짜리 고리마다 되는 색칠이 7가지다.
1 + 4 + 2 + 0 + 0 = 7 → N_모서리 = N_변 = 7
네 칸 고리에서는 흰색이 나란히 붙지 않을 때만 안전하다.
7.SP.C.8Make A Systematic List5STEP 5
곱하고 나누기
곱하면 49/512, 보기 (A).
P = (1 × 7 × 7)/2⁹ = 49/512
유리한 격자 수를 전체 격자 수로 나누면 곧바로 확률이 된다.
7.SP.C.5Identify Subproblems정답
49/512
답 49/512는 2⁹을 분모로 하는 분수로, 9개 칸이 모두 공정한 동전 던지기일 때 정확히 기대되는 모양이다. 그리고 49 = 7 x 7은 유리한 격자의 정수 개수이므로 세기가 앞뒤로 맞는다. 값은 약 0.096으로, 작지만 아주 작지는 않은 확률이다. 가운데가 검정이어야 하고 두 고리 모두에서 안전한 패턴이 필요하다는 점을 생각하면 까다롭지만 불가능하지는 않다는 사실과 잘 맞는다. 보기 (C) 121/1024와 (E) 9/32는 분자를 정수로 하여 512를 분모로 놓을 수 없으므로 512분의 정수 개수가 될 수 없다. (A)는 그럴 수 있다.
💡핵심 정리
4분의 1 회전은 칸들을 고정된 가운데 하나와 4개짜리 고리 둘로 나누므로, 각 고리의 안전한 패턴을 따로 세어 곱하면 된다.
- 회전이 무엇을 옮기는지 보기
- 언제 칸이 흰색으로 끝나는지 다시 쓰기
- 가운데, 모서리, 변으로 쪼개기
- 4칸 고리 하나 세기
- 곱하고 나누기
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