AMC 10 · 2012 · #17
학년 7 number-theory답을 골라 클릭하세요.
1,2,3,…,30 이라는 순서대로의 나열은 아무 도움이 되지 않는다. 규칙이 말하는 것은 합이 5의 배수인지이기 때문이다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심 수순이다. 같은 30개의 수를 5로 나눈 나머지에 따라 다시 묶는다. 도구 #4(변수 도입하기)가 그 재배치를 정당화한다. x=5q+r로 쓰면 합을 지배하는 것은 나머지뿐이다. 이어서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 금지되는 나머지 쌍을 모두 찾는데, 그 목록은 단 세 개뿐이다. 도구 #14(극단의 원리)가 그 세 개의 금지 조건을 |S|의 상한으로 바꾼다. 마지막 단계가 빠뜨리기 쉬운 부분이다. 상한은 그 크기를 넘을 수 없다는 말일 뿐이므로, 그 상한을 답이라고 부르려면 상한에 실제로 도달하는 집합을 직접 제시해야 한다.
나머지로 후보를 다시 묶기
후보가 다섯 나머지 무리로 다시 묶인다.
규칙이 5의 배수에 관한 것이므로, 각 수에 붙일 쓸모 있는 이름표는 5로 나눈 나머지다.
규칙이 5의 배수에 관한 것이므로, 수에 붙일 쓸모 있는 이름표는 5로 나눈 나머지다.
▸ 왜?
나눗셈은 모든 수를 하나의 나머지 무리로 가르며, 그 무리가 규칙이 보는 모든 것을 정한다.
▸ 왜?
그 무리들은 겹치지 않고 빠뜨리지도 않으므로, 무리 안에서 세면 모든 것을 한 번씩 세게 된다.
합을 결정하는 것은 나머지뿐
합을 결정하는 것은 나머지뿐이다.
5의 배수인 부분에서 5를 묶어내고 나면 신경 쓸 것은 나머지밖에 남지 않는다.
6.EE.A.3Introduce A Variable금지되는 이름표 쌍 나열하기
그러면 금지되는 짝이 정확히 셋이다.
두 나머지의 합이 5의 배수가 되려면 0 아니면 5여야 하고, 그렇게 되는 이름표 쌍은 셋뿐이다.
7.SP.C.8Make A Systematic List금지 조건을 상한으로 바꾸기
금지 조건이 개수를 13으로 제한한다.
금지 조건 하나하나가 그룹 전체 또는 그룹에서 하나만 남기고 전부를 날려버리고, 그 손실이 합쳐진다.
7.EE.B.4Extreme Principle13에 도달함을 보이기
실제 선택이 그 상한에 닿는다, 보기 (B).
최댓값에는 두 쪽이 모두 필요하다. 더 큰 것은 안 되고, 이 13개짜리 집합은 정말로 된다.
4.OA.B.4Make A Systematic List1부터 30까지를 5로 나눈 나머지로 분류하면, 한 나머지 그룹은 통째로 가져갈 수 있지만 합이 5가 되는 두 그룹을 동시에 가질 수는 없고 5의 배수는 하나만 넣을 수 있어서 6+6+1=13이 된다.
- 나머지로 후보를 다시 묶기
- 합을 결정하는 것은 나머지뿐
- 금지되는 이름표 쌍 나열하기
- 금지 조건을 상한으로 바꾸기
- 13에 도달함을 보이기