AMC 10 · 2012 · #23

학년 10 geometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilitycoordinate-geometrysymmetry-argumentarea-rectangles identify-subproblemseasier-related-problemcasework ↑ 선수 지식: geometric-probabilitycoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

기울어진 정사각형을 임의의 중심으로 옮겨 격자점을 정확히 둘 품어야 한다. 그 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{8}$

(B)

$\frac{7}{50}$

(C)

$\frac{4}{25}$

(D)

$\frac{1}{4}$

(E)

$\frac{8}{25}$

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

2012 × 2012 판 위를 돌아다니는 정사각형을 그대로 쫓아가는 것은 가망이 없다. 그래서 도구 #16(관점 바꾸기)으로 역할을 뒤집는다. S의 복사본을 모든 격자점에 하나씩 박아 두고, 그중 몇 개가 무작위 점을 덮는지 묻는 것이다. 그러면 개수는 평면 위의 고정된 지도가 된다. 넓이를 계산하기 전에 못 박아야 할 사실이 둘 있는데, 둘 다 그냥 넘어가기 쉽다. 첫째는 도구 #14(극단의 원리)가 준다. 한 변이 1인 정사각형의 내부에 있는 두 점 사이 거리는 항상 √(2)보다 진짜로 작고, 그래서 잡힌 두 격자점은 반드시 가로세로로 이웃해야 한다. 둘째는 도구 #3(가능성 지우기)이 준다. 격자점 세 개는 결코 함께 잡힐 수 없고, 이 때문에 '정확히 두 개'와 '어떤 이웃 쌍이 잡힌다'가 같은 사건이 된다. 그리고 보통 말하지 않고 넘어가는 부분인데, 서로 다른 쌍에 해당하는 영역이 서로 겹치지 않게 되어 넓이를 그냥 더해도 된다. 이어서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 주기성을 써서 판을 단위 칸 하나로 줄이고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 모든 것을 하나의 측정 대상, 즉 이웃한 두 복사본이 겹치는 부분으로 환원한다. 그 밑바탕에는 도구 #1(그림 그리기)로 S가 기울어진 단위 정사각형임을 먼저 파악하는 일이 깔려 있다.

1STEP 1

정사각형 S의 정체 밝히기

대각선이 정사각형의 크기와 기울기를 정한다.

중심 (0,0), 대각선 √(2), 한 변 1, 꼭짓점 (1/10,7/10), (-7/10,1/10), (-1/10,-7/10), (7/10,-1/10)

2STEP 2

점이 정사각형을 고르게 하기

점을 품는 것이 중심에 대한 조건이 된다.

p ∈ int T(v) ⇔ p - v ∈ int S ⇔ v - p ∈ int S ⇔ v ∈ int S_p

3STEP 3

둘이 들어가면 반드시 나란히

두 점이 들어가면 그것은 이웃이어야 한다.

|p - q| ＜ √(2)이고 |p - q| ∈ {1, √(2), 2, √(5), …}이므로 |p - q| = 1

4STEP 4

셋은 불가능하므로 겹치는 일도 없다

셋은 불가능하므로 겹침이 없다.

N(v) ≤ 2이므로 {v : N(v) = 2} = bigsqcup_{{p,q} 이웃} (int S_p ∩ int S_q)

5STEP 5

단위 칸 하나가 전부다

단위 칸 하나가 전부다.

2012²개의 같은 칸이 표본 영역을 덮으므로 P = ([0,1)² 안의 좋은 넓이)/1

6STEP 6

겹침 하나를 재기

각 겹침은 작은 직사각형이다.

S ∩ (S+e)의 띠 폭은 1 - |e · n₁|과 1 - |e · n₂|이고, e = (1,0)이면 1 - 3/5 = 2/5와 1 - 4/5 = 1/5이다

7STEP 7

두 방향을 더하기

두 방향을 더하면 4/25, 보기 (C).

쌍 방향마다 2/5 · 1/5 = 2/25, 그리고 2/25 + 2/25 = 4/25 → (C)

정답

4/25

세 가지로 확인한다. 첫째, 숫자들이 반드시 만족해야 하는 항등식이 있다. 복사본 S_p는 각각 넓이가 1이고 단위 칸마다 하나씩 있으므로, 칸 하나에서 N(v)의 평균은 1이다. N이 0, 1, 2인 부분이 칸에서 차지하는 비율을 각각 p₀, p₁, p₂라 하면 p₁ + 2p₂ = 1과 p₀ + p₁ + p₂ = 1이 함께 성립하고, 따라서 p₀ = p₂이다. 즉 격자점을 하나도 잡지 못할 확률이 두 개를 잡을 확률과 같아야 한다. p₀을 따로 계산해 봐도 맞아떨어진다. 포함배제로 복사본들이 칸의 1 - 4/25 = 21/25를 덮으므로(전체 넓이 1에서 두 번 세어진 4/25를 빼고, 세 겹은 없으므로 다시 더할 것이 없다) 덮이지 않은 부분이 4/25이고, p₁ = 17/25로 계산이 닫힌다. 둘째, 기울기가 실제로 일을 하고 있다. 만약 S가 좌표축과 평행한 단위 정사각형이라면 평면을 빈틈없이 덮어서 거의 모든 v에 대해 T(v) 안의 격자점이 정확히 하나가 되고 답은 0이 된다. 그러니 3-4-5 기울기에서는 0이 아닌 적당한 크기의 값이 나오는 것이 맞다. 셋째, 오답 선택지들이 예상대로 행동한다. 8/25는 정확히 답의 두 배인데, 이웃 방향 네 개를 순서 없는 쌍 두 개가 아니라 별개의 영역 네 개로 셀 때 나오는 값이다. 1/8 = 0.125와 7/50 = 0.14는 4/25 = 0.16 바로 아래에 있고 띠의 폭을 조금 잘못 쟀을 때 나오는 값이며, 1/4은 어림수로 찍은 값이다.

💡핵심 정리

기울어진 정사각형의 복사본을 모든 격자점에 하나씩 박아 두자. 그 정사각형은 나란히 붙은 격자점 두 개는 겨우 덮을 수 있어도 대각선으로 놓인 두 개는 결코 덮지 못하므로, 답은 이웃한 두 복사본이 칸에서 공유하는 넓이일 뿐이다.

정사각형 S의 정체 밝히기
점이 정사각형을 고르게 하기
둘이 들어가면 반드시 나란히
셋은 불가능하므로 겹치는 일도 없다
단위 칸 하나가 전부다
겹침 하나를 재기
두 방향을 더하기