AMC 10 · 2012 · #6
학년 6 algebra systems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 수를 둘씩 더해 세 개의 합을 얻는다. 가운데 수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
4
(B)
5
(C)
6
(D)
7
(E)
8
풀이 과정
전략 변수 도입하기
도구 #4(변수 도입하기)로 세 수를 a ≤ b ≤ c로 이름 붙이면 말을 세 개의 깔끔한 짝별 합 방정식으로 바꿀 수 있다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 문제를 쉽게 만든다. 짝별 합을 크기순으로 정렬해 각 합이 어느 두 수에서 나왔는지 짝지어 준다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 두 단계로 나눈다. 먼저 세 수의 총합을 구하고, 그다음 가운데 수만 떼어 낸다. 세 방정식을 한꺼번에 푸는 것보다 간단하다.
1STEP 1
수에 이름 붙이고 합 짝짓기
세 이름이 세 짝의 합과 짝지어진다.
a+b=12, a+c=17, b+c=19
모르는 수에 이름을 붙이면 말로 된 단서를 다룰 수 있는 방정식으로 적을 수 있다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
짝별 합 세 개를 모두 더하기
셋을 모두 더하면 모든 것이 두 번 세어진다.
(a+b)+(a+c)+(b+c)=2(a+b+c)=12+17+19=48 → a+b+c=24
짝별 합을 모두 더하면 각 수를 두 번씩 세게 되므로 총합의 두 배와 같다.
세 짝의 합을 모두 더하면 각 수가 두 번 세어지므로, 결과는 전체 합의 두 배다.
▸ 왜?
각 수는 세 짝 가운데 정확히 두 짝에 속하므로, 짝을 따라 더하면 두 번 지나게 된다.
두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
▸ 왜?
전체 합은 세 수를 더한 것이므로, 두 배가 된 것을 반으로 나누면 되살아난다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
가운데 수만 떼어 내기
짝의 합 하나를 빼면 7이 남는다, 보기 (D).
b = 24 - 17 = 7 → (D)
세 수의 총합에서 가운데를 감싸는 두 수를 빼면 가운데 수만 남는다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems정답
7
복원한 수 5, 7, 12는 자연수이고 짝별 합이 5+7=12, 5+12=17, 7+12=19로 주어진 세 합과 정확히 같으므로 지어낸 것이 없다. 가운데 값은 7이고 5와 12 사이에 있어 가운데 수답다. 함정은 5(보기 B)인데 이는 가장 작은 수이지 가운데 수가 아니다. 문제는 가운데를 물었으므로 7이 정답이다.
💡핵심 정리
짝별 합을 모두 더해 총합의 두 배를 구한 뒤, 가운데 수가 빠진 짝을 빼면 가운데 수가 나온다.
- 수에 이름 붙이고 합 짝짓기
- 짝별 합 세 개를 모두 더하기
- 가운데 수만 떼어 내기