AMC 10 · 2012 · #7
학년 7 geometry-2d sequences-arithmeticoptimization extremal-constructionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
일정하게 커지는 정수 각들이 한 바퀴를 채운다. 가능한 가장 작은 첫 각을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
5
(B)
6
(C)
8
(D)
10
(E)
12
풀이 과정
전략 극단의 원리
가장 작은 첫 각의 최소값을 묻고 있으므로 이것은 최소/최대 문제입니다. 첫 각과 공차에 이름을 붙이고 '각들이 원을 채운다'는 조건을 하나의 식으로 바꾼 뒤, 공차를 허용되는 최대값까지 밀어 첫 각을 최대한 작게 만듭니다.
1STEP 1
두 미지수에 이름 붙이기
미지수 둘이 열두 각을 모두 설명한다.
a, a+d, a+2d, …, a+11d
등차수열은 시작값과 간격만 정하면 전부 결정되므로, 두 글자로 12개의 각을 모두 나타낼 수 있습니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
합을 360으로 두기
합이 한 바퀴라는 것이 하나의 식이다.
12a + 66d = 360 → 2a + 11d = 60
같은 종류의 항을 모으면 흩어진 12개의 각이 시작값과 간격 사이의 식 하나로 정리됩니다.
동류항을 모으면 열두 개의 각이 시작값과 간격 사이의 방정식 하나가 된다.
▸ 왜?
열두 각이 중심 둘레의 한 바퀴를 채우므로, 그 합은 다른 무엇보다 먼저 정해진다.
한 점 둘레의 각은 360도한 점 둘레를 빙 둘러 나란히 놓인 각들은 한 바퀴, 곧 360도를 정확히 채운다.
▸ 왜?
각 각은 앞의 각에 같은 간격을 더한 것이므로, 열두 개 모두 두 글자로 적힌다.
일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
3STEP 3
시작값을 정수로 만들기
정수 각이 간격을 짝수로 만든다.
a = (60 - 11d)/2 → d 는 짝수
홀수에 d를 곱한 값이 짝수가 되는 것은 d가 짝수일 때뿐이므로, d의 홀짝이 a의 정수 여부를 결정합니다.
6.EE.B.5Introduce A Variable4STEP 4
간격을 극단까지 밀기
간격을 끝까지 밀면 4다.
60 - 11d ＞ 0 → d ≤ 5, d 짝수 → d = 4
정해진 합을 12개의 각이 나눠 가지므로, 간격이 클수록 첫 각이 낮아지고 허용되는 가장 큰 간격이 가장 작은 첫 각을 줍니다.
6.EE.B.5Extreme Principle5STEP 5
계산하고 확인하기
그러면 첫 각은 8이다, 보기 (C).
a = (60 - 44)/2 = 8, 8+12+…+52 = 360
극단의 간격을 다시 넣어 각들의 합이 여전히 완전한 원(360도)이 됨을 확인하면 그 최소값이 실제로 도달 가능함이 증명됩니다.
4.MD.C.7Extreme Principle정답
8
각 8, 12, 16, ..., 52는 모두 양의 정수이고 간격이 일정하며 합이 정확히 360이므로 올바른 배치입니다. 다음 짝수 간격인 d = 6을 시도하면 한 항이 66도나 늘어나 이미 a ＞ 0을 깨뜨리므로 8보다 작아질 수 없고, 답 (C)가 유지됩니다.
💡핵심 정리
정해진 전체 합을 일정한 간격으로 나눌 때, 간격을 허용되는 만큼 크게 하면 가장 작은 조각이 가장 작아집니다.
- 두 미지수에 이름 붙이기
- 합을 360으로 두기
- 시작값을 정수로 만들기
- 간격을 극단까지 밀기
- 계산하고 확인하기