AMC 10 · 2012 · #11

학년 8 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

base-conversionplace-valuequadratic-equationsdigit-constraints convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: base-conversionplace-value

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

서로 다른 진법의 세 수가 하나의 덧셈을 이루고, 두 밑은 연속이다. 두 밑의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #13 (대수): 모든 수는 자리값 공식이 있으므로 셋 다 10 진법으로 바꾸면 A, B 에 대한 식 하나가 됩니다. 도구 #15 (다르게 정리): 그 식은 A 에 대해서는 이차이지만 B 에 대해서는 일차이므로, A 가 아니라 B 에 대해 풀면 깔끔한 공식 B = (A-4)(A+1)/2를 얻습니다. 도구 #14 (극단의 원리): 이 공식은 A+1 보다 훨씬 빨리 커지므로 A 의 상한이 생기고 후보가 몇 개만 남습니다. 도구 #3 (지우기)·#6 (확인): 자릿수 규칙과 원식 대입으로 남은 후보를 걸러내고 정답을 확정합니다.

1STEP 1

대수보다 먼저 숫자를 읽기

숫자만으로도 각 밑에 하한이 생긴다.

A ≥ 4, B ≥ 5, A+B ≥ 10

2STEP 2

세 수를 모두 10진법으로

10진법으로 다시 쓰면 방정식 하나가 된다.

A² + 3A + 2 + 4B + 3 = 6A + 6B + 9

3STEP 3

A가 아니라 B에 대해 풀기

일차인 밑에 대해 푸는 편이 쉽다.

2B = A² - 3A - 4 ⟹ B = (A-4)(A+1)/2

4STEP 4

정해진 B를 A+1과 비교

그것을 이웃과 비교하면 하나의 차가 된다.

B - (A+1) = (A+1)(A-6)/2

5STEP 5

차이가 A의 상한을 6으로 못박음

그 차가 첫 밑에 상한을 씌운다.

A ≥ 7 → B ＞ A+1 → 연속 아님. 따라서 A ∈ {4, 5, 6}

6STEP 6

남은 세 후보 확인

살아남는 후보는 셋뿐이다.

A=4 → B=0 ×, A=5 → B=3 ×, A=6 → B=7 ✓

7STEP 7

원식에 대입해 확정

대입해 보면 13이 확인된다, 보기 (C).

132₆ + 43₇ = 56 + 31 = 87 = 78 + 9 = 69₁₃ → A+B = (C) 13

8STEP 8

다른 선택지가 안 되는 이유

그 흐름이 다른 보기는 안 됨을 보인다.

A=5 → 3, A=6 → 7, A=7 → 12, A=8 → 18, A=9 → 25

정답

계산이 정확히 맞아떨어집니다: 56 + 31 = 87, 69₁₃ = 87 — 정리한 식이 아니라 원래 등식을 만족합니다. 자릿수 조건도 모두 성립합니다 — 숫자 3에 대해 6 ≥ 4, 숫자 4에 대해 7 ≥ 5, 숫자 9에 대해 13 ≥ 10. 이 점이 중요한 이유는, 대수가 무엇을 말하든 선택지 (A)를 불가능하게 만드는 것이 바로 숫자 9 이기 때문입니다. 크기 감각으로도 타당합니다: 좌변의 132_A 는 대략 A² 인데 우변은 6(A+B) ≈ 12A 정도뿐이라 A 는 작을 수밖에 없고, A=6이 딱 그 구간에 있습니다. 유일성은 선택지 목록에 기대지 않습니다: 차이 항등식 B - (A+1) = (A+1)(A-6)/2 만으로 A ≤ 6이 강제되고, 그중 A=6 만이 연속인 짝을 만듭니다.

💡핵심 정리

각 수를 자리값대로 펼친 뒤 일차로만 등장하는 변수를 먼저 풀면 B = (A-4)(A+1)/2가 되고, "연속" 조건이 A 를 6까지 좁혀 주므로 A+B = 13, 선택지 (C)입니다.

대수보다 먼저 숫자를 읽기
세 수를 모두 10진법으로
A가 아니라 B에 대해 풀기
정해진 B를 A+1과 비교
차이가 A의 상한을 6으로 못박음
남은 세 후보 확인
원식에 대입해 확정
다른 선택지가 안 되는 이유