AMC 10 · 2012 · #14
학년 7 countingprobability답을 골라 클릭하세요.
승리 조건은 게임의 끝에서 주어지고("1000 미만을 마지막으로 만든 사람"), 문제는 시작값 N을 묻는다 — 전형적인 도구 #11(거꾸로 풀기) 상황이다. 끝에서 거슬러 보면, 베르나르도는 실비아에게 넘긴 수가 너무 커서 실비아의 +50이 1000 이상이 될 때 이긴다. 따라서 그의 승리 수는 950–999 구간에 갇힌다. 도구 #4(변수 도입하기)로 번갈아 두 배·더하기 하는 과정을 N에 대한 식으로 정리하면 베르나르도의 출력은 2N, 4N+100, 8N+300, 16N+700이 된다. 도구 #14(극단의 원리)로 그 구간에 처음 도달하는 가장 작은 N을 찾으면 마지막 출력에서 걸린다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 N=16과 N=15을 실제로 굴려 승자를 확인한다.
승리를 수의 구간으로 바꾸기
승리는 좁은 구간에 드는 것이다.
베르나르도는 실비아의 +50이 버틸 수 없을 만큼 큰 수를 넘겨서 이기므로, 그의 마지막 수는 1000 바로 아래 50칸 안에 있어야 한다.
이긴다는 것은 다음 수가 견딜 수 없을 만큼 큰 수를 넘기는 것이므로, 마지막 수는 좁은 창 안에 놓인다.
▸ 왜?
지는 문턱은 정해진 천장이므로, 그것을 넘은 수는 결코 아래로 되돌아올 수 없다.
▸ 왜?
그 창의 너비는 정해진 한 걸음만큼이므로, 그 걸음 뒤의 나머지만이 결과를 정한다.
시작값에 이름 붙이고 동작 따라가기
모든 동작이 일차 식으로 남는다.
모르는 시작값을 문자로 두면 한 줄의 대수가 게임의 왔다 갔다 전부를 대신한다.
6.EE.B.6Introduce A Variable베르나르도의 네 수 나열하기
한 사람이 정확히 네 수를 만든다.
N의 곱하는 수가 가장 큰 출력이 승리 구간에 먼저 올라가므로 가장 작은 시작값을 준다.
6.EE.A.2Introduce A Variable가장 작은 승리 시작값 구하기
부등식이 가장 작은 시작값 16을 준다.
복합 부등식을 풀면 승리 시작값이 정수 몇 개의 짧은 묶음임이 드러나고, 그 묶음의 가장 작은 끝이 답이다.
7.EE.B.4Extreme Principle게임을 다시 굴려 확인하기
게임을 다시 굴리면 확인된다.
16과 15로 게임을 실제로 걸어 보면 16은 이기고 그보다 작은 값은 안 됨이 확인된다.
4.OA.A.3Guess And Check각 자리 숫자 더하기
자릿수 합은 7, 보기 (A).
문제의 마지막 요구는 우리가 찾은 수 자체가 아니라 그 수의 각 자리 숫자의 합이다.
4.NBT.B.4Guess And Check끝에서 거꾸로 생각하자: 베르나르도는 자기 수가 950–999에 들어올 때 이기고, 두 배·더하기를 하나의 식 16N+700으로 바꾸면 가장 작은 시작값은 16, 그 자리 숫자 합은 7이다.
- 승리를 수의 구간으로 바꾸기
- 시작값에 이름 붙이고 동작 따라가기
- 베르나르도의 네 수 나열하기
- 가장 작은 승리 시작값 구하기
- 게임을 다시 굴려 확인하기
- 각 자리 숫자 더하기