AMC 10 · 2012 · #2
학년 7 geometry-2d area-rectanglesratio-proportionarea-circles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectangles
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
원이 두 변의 비를 아는 직사각형 안에 꼭 맞게 들어간다. 직사각형의 넓이를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
50
(B)
100
(C)
125
(D)
150
(E)
200
풀이 과정
전략 그림 그리기
그림이 핵심이다. 도구 #1(그림 그리기)은 "내접"이라는 말을 잴 수 있는 사실로 바꿔 준다. 원이 위 변과 아래 변에 접하므로, 원이 위아래로 차지하는 거리 — 즉 지름 — 이 바로 직사각형의 세로이다. 세로가 정해지면, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 단계만 남는다. 2:1 비로 가로를 구하고, 가로와 세로를 곱해 넓이를 구한다.
1STEP 1
원에서 세로를 읽어내기
짧은 변은 지름인 10이다.
세로 = 지름 = 2 × 5 = 10
두 평행한 벽 사이에 꽉 낀 원은 정확히 지름만큼의 공간을 채우므로, 그 지름이 벽 사이의 간격이다.
평행한 두 벽 사이에 낀 원은 정확히 지름만큼의 공간을 채운다.
▸ 왜?
원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으므로, 가장 넓은 폭은 반지름 둘이다.
원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
▸ 왜?
평행한 벽은 어디서나 간격이 일정하므로, 원이 맞춰야 할 것은 바로 그 간격이다.
평행선의 간격은 일정하다두 평행선은 결코 만나지 않으며 어디에서 재도 둘 사이 거리는 같다.
2STEP 2
비를 이용해 가로 구하기
비에 따라 긴 변은 20이다.
가로 = 2 × 세로 = 2 × 10 = 20
2:1 비는 앞의 양이 뒤의 양의 두 배라는 뜻이므로, 아는 변을 2배로 늘리면 된다.
6.RP.A.1Identify Subproblems3STEP 3
가로와 세로 곱하기
곱하면 200, 보기 (E).
넓이 = 가로 × 세로 = 20 × 10 = 200 → (E)
직사각형의 넓이는 안에 든 단위 정사각형의 개수이고, 그것은 언제나 가로 곱하기 세로이다.
4.MD.A.3Identify Subproblems정답
200
두 변을 그림과 맞춰 보자: 세로 10은 지름 2 × 5와 같고, 가로 20은 그 두 배 — 정확히 그림의 2:1 상자이다. 넓이 200만이 조건에 맞는다. 헷갈리기 쉬운 오답은 (B) 100인데, 이는 지름 10 대신 반지름 5를 세로로 쓴 결과이다. 하지만 반지름은 원의 절반까지만 닿으므로, 전체 세로는 반드시 지름이어야 한다.
💡핵심 정리
내접원은 딱 지름만큼 가로질러 뻗으므로, 그 지름이 상자의 짧은 변이다 — 그것을 먼저 찾으면 나머지는 비와 넓이 계산일 뿐이다.
- 원에서 세로를 읽어내기
- 비를 이용해 가로 구하기
- 가로와 세로 곱하기