AMC 10 · 2012 · #23

학년 12 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

complex-numbersroots-of-unitypolynomial-rootsgcd convert-to-algebraextreme-principlesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: complex-numberspolynomial-roots

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

정수 계수가 줄어드는 사슬을 이루고 다항식은 크기 1인 근을 가져야 한다. 살아남은 것들의 한 값을 모두 더하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

100

(D)

108

(E)

120

풀이 과정

전략 극단의 원리

|z₀|=1은 크기에 관한 조건이므로 논증도 크기 위에서 굴려야 한다. 4 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0이라는 사슬을 말하게 만드는 열쇠는 P에 z-1을 곱하는 것이다. 그러면 계수들이 사슬의 다섯 개 연속 간격으로 접히는데, 모두 음이 아니고 그 합이 정확히 4가 된다(도구 #15 다르게 정리하기, 도구 #4 변수 도입하기). 이제 |z₀|=1 때문에 항등식의 한쪽 크기는 정확히 4이고, 다른 쪽은 크기 합이 4인 다섯 조각의 합이다. 즉 크기가 최대치에 붙어 있으므로 어느 조각도 엉뚱한 방향을 향할 수 없다. 이 삼각부등식의 등호 조건이 문제의 전부이며(도구 #14 극단의 원리), 해석적 조건을 '실제로 존재하는 간격마다 z₀^k=1'이라는 산술 조건으로 바꿔 준다. 같은 사슬을 거꾸로 따라가면 이 조건이 필요조건일 뿐 아니라 충분조건임도 드러나고(도구 #11 거꾸로 풀기), 그래야 비로소 유한한 목록을 확정할 수 있다(도구 #2 빠짐없이 나열하기, 도구 #3 가능성 지우기).

1STEP 1

사슬의 다섯 간격에 이름 붙이기

사슬이 음이 아닌 다섯 간격이 된다.

e₁=4-a, e₂=a-b, e₃=b-c, e₄=c-d, e₅=d, e₁+e₂+e₃+e₄+e₅=4

2STEP 2

z-1을 곱하기

영리한 인수 하나가 합을 사슬처럼 지운다.

(z-1)P(z)=4z⁵-(e₁z⁴+e₂z³+e₃z²+e₄z+e₅)

3STEP 3

z₀=1을 지우고 식을 교환하기

1은 여기서 결코 근이 아니다.

P(1)=4+a+b+c+d ≥ 4 ＞ 0 → z₀ ≠ 1, P(z₀)=0⇔ 4z₀⁵=Σ_k=1⁵e_kz₀^ 5-k

4STEP 4

크기가 최대치에 붙는다

크기 논증이 한계가 빡빡함을 보인다.

4=|4z₀⁵|=|Σ_k=1⁵e_kz₀^ 5-k| ≤ Σ_k=1⁵e_k|z₀|⁵-k=Σ_k=1⁵e_k=4

5STEP 5

등호가 z₀^k=1을 강제한다

등호가 쓰인 각 거듭제곱을 1로 만든다.

Σ_k=1⁵e_kz₀^-k=4=Σ_k=1⁵e_k, Re (z₀^-k) ≤ 1 → e_k ＞ 0→ z₀^-k=1⇔ z₀^ k=1

6STEP 6

이 조건은 충분하기도 하다

그 조건은 충분하기도 하다.

S={k:e_k ＞ 0}, P가 |z|=1인 근을 가진다⇔ gcd(S) ≥ 2

7STEP 7

허용되는 간격 패턴 나열하기

살아남는 다항식은 일곱개뿐이다.

(a,b,c,d)∈{(4,0,0,0),(4,1,1,0),(4,2,2,0),(4,3,3,0),(4,4,4,0)}∪{(4,4,0,0)}∪{(4,4,4,4)}

8STEP 8

일곱 개의 P(1)을 더하기

그 값들의 합은 92, 보기 (B).

Σ_t=0⁴(8+2t)+12+20=60+12+20=92 → (B)

정답

일곱 다항식은 간격 논증과 무관하게 손으로 하나씩 확인할 수 있다. (4,t,t,0)의 경우 P(z)=4z⁴+4z³+tz²+tz=z(z+1)(4z²+t)이므로 모든 t에 대해 단위원 위의 근 z=-1을 가진다. (4,4,0,0)의 경우 P(z)=4z⁴+4z³+4z²=4z²(z²+z+1)이고 그 근에는 실수가 아닌 두 개의 1의 세제곱근이 들어 있다. (4,4,4,4)의 경우 P(z)=4(z⁴+z³+z²+z+1)=4·(z⁵-1)/(z-1)이고 근은 1이 아닌 네 개의 1의 다섯제곱근이다. 일곱 개가 모두 실제로 조건을 만족하며, 논증은 그 밖에는 없다는 것도 보여 준다. a ≤ 3인 경우 e₁ ＞ 0이므로 z₀¹=1, 즉 배제된 z₀=1이 필요해지기 때문에 a=4는 관찰이 아니라 강제된 결론이다. 전형적인 함정은 (4,0,0,0)을 퇴화한 경우로 보고 버리는 것이다. P(z)=4z³(z+1)은 삼중근 0을 가지지만 z=-1 역시 |{-1}|=1인 근이므로 세어야 한다. 이를 버리면 92-8=84가 되는데 이것이 바로 오답 (A)이다. 반대로 다섯제곱근 다항식을 놓치면 72가 되는데 이 값은 선택지에 아예 없다. 그 예외적인 경우가 반드시 필요하다는 신호다. 총합 92는 선택지 (B)와 일치한다.

💡핵심 정리

z-1을 곱해 계수 사슬을 합이 4인 다섯 간격으로 바꾸면, 단위원 위에서는 크기가 최대치에 붙어 있어 존재하는 간격마다 z^k=1이 강제된다. 그래서 근이 있으려면 그 자리들이 공약수를 가져야 하고, 살아남은 일곱 다항식의 P(1)을 더하면 92이다.

사슬의 다섯 간격에 이름 붙이기
z-1을 곱하기
z₀=1을 지우고 식을 교환하기
크기가 최대치에 붙는다
등호가 z₀^k=1을 강제한다
이 조건은 충분하기도 하다
허용되는 간격 패턴 나열하기
일곱 개의 P(1)을 더하기