AMC 10 · 2012 · #25

학년 10 geometry-2d

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

symmetry-argumentreflection-symmetrytrigonometric-ratioscoordinate-geometry symmetry-argumentsystematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: trigonometric-ratioscoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

구멍 난 격자 위의 모든 직각삼각형에서 어떤 비를 취해 전부 곱한다. 그 곱을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{625}{144}$

(C)

$\frac{125}{24}$

(D)

(E)

$\frac{625}{24}$

풀이 과정

전략 공간 상상하기

탄젠트를 846번 계산하는 것은 불가능하므로 곱이 스스로 무너져야 한다. 그 무너뜨리는 힘을 주는 것이 도구 #17(공간 상상하기)이다: 삼각형을 거울에 비춰 보자. 거울은 두 변의 길이를 그대로 두지만 방향을 뒤집으므로, 반시계 규칙이 B와 C를 서로 바꾸게 만든다 — 그래서 거울에 비친 삼각형의 f 값은 역수가 되고, 짝지어진 두 삼각형의 곱은 1이 된다. 그다음 도구 #16(관점 바꾸기)이 질문을 "곱은 얼마인가?"에서 "S 안에 거울 짝이 없는 삼각형은 무엇인가?"로 바꾼다. 살아남는 것은 그 삼각형들뿐이기 때문이다. (0,0)이 지워졌으므로 상하 거울 y = 5/2는 반대쪽 모서리 (0,5)를 피하는 모든 삼각형에 대해 여전히 작동하고, 대각선 거울 x+y=5는 (0,5)를 고정하면서 맨 아랫줄을 피하는 모든 삼각형에 대해 작동한다 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 T를 이 두 덩어리와 작은 나머지로 나눈다. 도구 #4(변수 도입하기)로 나머지의 꼭짓점에 좌표를 붙이면 수직 조건이 내적 방정식이 되고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 방정식을 유한한 격자 위에서 남김없이 풀면, "이런 배치가 있다"는 주장이 "이것이 전부다"라는 증명으로 바뀐다. 도구 #1(그림 그리기)은 두 거울과 살아남은 삼각형들을 내내 눈앞에 붙들어 둔다.

1STEP 1

f는 두 직각변의 비일 뿐이다

그 값은 두 직각변의 비다.

f(t)=tan∠ CBA=대변/이웃변=AC/AB

2STEP 2

거울은 f를 뒤집는다

어떤 거울이든 그것을 뒤집는다.

ψ가 반사 → f(ψ(t))=AB/AC=1/f(t), 즉 f(t) · f(ψ(t))=1; 그리고 ψ(t)=t → f(t)²=1 → f(t)=1

3STEP 3

거울 1: y=5/2에 대한 반사

한 거울이 특별한 점을 안 쓰는 삼각형을 모두 지운다.

σ(x,y)=(x,5-y); σ(S ∖ {(0,5)})=S ∖ {(0,5)}, 따라서 T₁={t ∈ T : (0,5) ∉ t}에 대해 Π_t ∈ T₁ f(t)=1

4STEP 4

거울 2: x+y=5에 대한 반사

둘째 거울이 나머지 대부분을 지운다.

τ(x,y)=(5-y, 5-x), τ(0,5)=(0,5), S'={(x,y): 0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 5}에 대해 τ(S')=S', 따라서 Π_t ∈ T₂ f(t)=1

5STEP 5

살아남는 것: (0,5)와 아랫줄 점 정확히 하나

좁은 종류의 삼각형만 살아남는다.

아랫줄 두 점은 불가능: -a(b-a)=0 → a=0 ∉ S, 그리고 ab+25=0은 a,b ≥ 1에서 해가 없다. 남은 꼴: P=(0,5), Q=(q,0), R=(r,s), 1 ≤ q ≤ 4, 0 ≤ r ≤ 4, 1 ≤ s ≤ 5

6STEP 6

내적으로 살아남는 삼각형을 모두 찾기

내적으로 찾으면 여덟개다.

R에서 직각: r(r-q)=s(5-s). 해: q=1,2,3,4에 대해 (R,Q)=((q,5),(q,0)); ((4,1),(3,0)); ((4,4),(3,0)); ((3,2),(1,0)); ((3,3),(1,0))

7STEP 7

여덟 삼각형의 f 값 계산

각 생존자의 비는 읽기 쉽다.

f 값: 5/1, 5/2, 5/3, 5/4 (축에 나란한 것); R=(3,2)에서 2/3; R=(4,1)에서 1/4; R=(3,3)에서 1; R=(4,4)에서 1

8STEP 8

살아남은 값들을 곱하기

곱하면 625/144, 보기 (B).

Π_t ∈ T f(t) = 1 · 1 · (5/1 · 5/2 · 5/3 · 5/4) · (1 · 1) · (2/3 · 1/4) = 625/24 · 1/6 = 625/144 → (B)

정답

625/144

각 상쇄 단계는 자기 집합을 정확히 자기 자신으로 보내는 반사임을 확인한 사상에 근거하므로, 어떤 삼각형도 조용히 빠지거나 두 번 세어지지 않는다. 또 두 모임은 여덟 개를 뺀 나머지를 정확히 분할한다: T₁은 "(0,5)를 꼭짓점으로 갖지 않음", T₂는 "(0,5)를 쓰지만 맨 아랫줄에는 닿지 않음", 그리고 살아남은 것은 "(0,5)를 쓰고 맨 아랫줄에도 닿음"이다. C(29, 3)=3654가지 꼭짓점 조합을 모두 훑어보면 이 계산이 정확히 확인된다: T에는 직각삼각형이 846개 있고 그중 776개가 T₁에 속해 곱이 1, 62개가 T₂에 속해 곱이 1이며, 남은 8개가 바로 6단계의 목록으로 곱이 625/144이다. 오답 선택지는 흔한 두 가지 실수를 그대로 담고 있다. 축에 나란한 네 개까지만 세고 멈추면 625/24, 곧 선택지 (E)가 나온다 — 남은 삼각형이 모두 가로세로 직각변을 가질 것이라고 넘겨짚는 사람을 위한 함정이다. 선택지 (A) 1은 거울이 모든 것을 정리해 준다고 믿는 함정이다. (0,0)을 지운 탓에 짝 없는 나머지가 생긴다는 점을 놓친 것이다. 한 가지 더: 직각이등변인 R=(3,3)과 R=(4,4)는 나열할 때 빠뜨리기 쉽다. 값이 각각 1이라 빠뜨려도 답은 살아남지만, 목록이 정직하려면 반드시 포함해야 한다 — 그리고 겉보기가 비슷한 2/3, 1/4 삼각형이야말로 답을 실제로 움직이는 것들이다.

💡핵심 정리

직각삼각형을 거울에 비추면 두 직각변은 그대로지만 어느 쪽이 "대변"인지가 바뀐다 — 그래서 탄젠트가 뒤집히고 짝끼리 상쇄된다. 거울을 충분히 찾고 나면 곱해야 할 삼각형은 몇 개밖에 남지 않는다.

f는 두 직각변의 비일 뿐이다
거울은 f를 뒤집는다
거울 1: y=5/2에 대한 반사
거울 2: x+y=5에 대한 반사
살아남는 것: (0,5)와 아랫줄 점 정확히 하나
내적으로 살아남는 삼각형을 모두 찾기
여덟 삼각형의 f 값 계산
살아남은 값들을 곱하기