AMC 10 · 2012 · #6
학년 7 logicalgebra estimationinterval-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: interval-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
빼기 전에 한 수는 올리고 다른 수는 같은 만큼 내린다. 어림값이 어떻게 되는지 판정하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\text{Her estimate is larger than } x - y$
(B)
$\text{Her estimate is smaller than } x - y$
(C)
$\text{Her estimate equals } x - y$
(D)
$\text{Her estimate equals } y - x$
(E)
$\text{Her estimate is } 0$
풀이 과정
전략 변수 도입하기
문제에 수가 전혀 없으므로 안전한 선택은 도구 #4(변수 도입하기)이다: 작은 반올림 양을 k라 하고 어림한 두 수를 x+k와 y-k로 쓴다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 “올림한 x 빼기 내림한 y”를 하나의 식으로 바꾸어 정리하고 x-y와 비교할 수 있게 한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 그 비교를 다섯 진술에 대조하여 모든 허용된 x와 y에 대해 성립해야 하는 것을 남긴다.
1STEP 1
반올림 양에 이름 붙이기
문자 하나가 반올림 양을 이름 짓는다.
k ＞ 0, 올림한 x=x+k, 내림한 y=y-k
양이 설명되었지만 수로 주어지지 않았다면 문자를 붙여 계산할 수 있게 한다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
어림값을 쓰고 정리하기
정리하면 두 변화가 더해진다.
(x+k)-(y-k)=x+k-y+k=(x-y)+2k
작아진 묶음을 빼면 그 줄어든 만큼이 다시 더해지므로, 두 반올림이 모두 차에 얹힌다.
작게 만든 값을 빼면 그 줄어든 만큼이 되돌아 더해지므로, 두 반올림이 모두 차에 얹힌다.
▸ 왜?
빼는 값을 어떤 만큼 내리면 차는 정확히 그만큼 올라간다.
둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
▸ 왜?
양수를 더하면 수직선에서 언제나 오른쪽에 놓이므로, 어림값이 참값보다 크다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
3STEP 3
참값과 비교하여 고르기
따라서 어림값은 언제나 더 크다, 보기 (A).
2k ＞ 0 → (x-y)+2k ＞ x-y → (A)
어떤 수에 양수를 더하면 수직선에서 오른쪽에 놓이므로 더 크다.
6.NS.C.7Eliminate Possibilities정답
그녀의 어림값은 x - y보다 크다
구체적인 수로 확인하자: x=10, y=3으로 두고 k=1만큼 반올림한다. 참값 차는 10-3=7이다. 샤오리는 (10+1)-(3-1)=11-2=9를 얻는데, 이는 7보다 2, 즉 정확히 2k만큼 크다. k ＞ 0을 다르게 잡아도 같은 양상이 나온다: 어림값이 참값보다 2k만큼 크다. 이는 대수 결과와 일치하며 어림값이 항상 과대함을 확인하므로 (A)가 일관적이다.
💡핵심 정리
앞의 수를 더 크게 만들고 빼는 수를 더 작게 만들면 차는 둘 다 위로 올라가므로, 이 어림값은 항상 너무 크다.
- 반올림 양에 이름 붙이기
- 어림값을 쓰고 정리하기
- 참값과 비교하여 고르기