AMC 10 · 2012 · #8
학년 6 counting permutations-basic casework ↑ 선수 지식: permutations-basic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
날마다 앞날과 다른 것을 고르고, 하루는 미리 정해져 있다. 가능한 한 주의 가짓수를 세어라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
729
(B)
972
(C)
1024
(D)
2187
(E)
2304
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기
"몇 가지인가"를 묻는 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 센다. 아무렇게나 짐작하지 말고 영리한 순서로 디저트를 정한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 "일주일 전체를 세기"라는 어려운 문제를 "하루를 세기" 일곱 개로 나누어 서로 곱하게 해 준다. 도구 #5(패턴 찾기)는 금요일을 뺀 모든 날이 똑같이 3가지 선택을 가진다는 규칙을 알아채, 곱을 하나의 3의 거듭제곱으로 정리하고 금요일에도 배수를 주는 함정을 막아 준다.
1STEP 1
금요일을 기준 삼아 바깥으로 세기
정해진 날이 기준이다.
4-1=3 (금요일이 아닌 각 날의 선택 수)
이웃 하나가 정해지면 디저트 하나만 못 쓰게 되어 셋이 남는다.
3.OA.A.1Make A Systematic List2STEP 2
서로 독립인 날의 수를 곱하기
나머지 날은 각각 선택지가 3가지다.
3×3×3×3×3×3₆일 × 1 = 3⁶
독립인 선택은 곱으로 합쳐지고, 똑같은 3이 여섯 번이면 3⁶으로 묶인다.
서로 독립인 날의 선택은 곱으로 합쳐지며, 같은 인수 여섯이 하나의 거듭제곱으로 묶인다.
▸ 왜?
각 날은 이웃 말고는 상관없이 골라지므로, 선택지의 개수가 곱해진다.
독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
▸ 왜?
지수는 같은 인수를 몇 번 쓰는지를 세므로, 같은 인수 여섯은 그 인수의 6제곱이다.
거듭제곱은 반복 곱셈b^n은 밑 b를 n번 곱한 것이며, 1보다 큰 밑의 거듭제곱은 값이 엄격히 커진다.
3STEP 3
3의 거듭제곱 계산하기
곱하면 729, 보기 (A).
3⁶=729 → (A)
3을 여섯 번 곱하면 729, 선택지 중 가장 작은 값이다.
5.NBT.B.5Look For A Pattern정답
729
가장 큰 함정을 확인하자. 금요일이 고정임을 잊고 7일 모두에 3가지를 주면 3⁷=2187이 되는데, 이는 정확히 오답 (D)이다. 금요일을 고정하면 3 한 개가 빠져 2187이 3⁶=729로 줄어드니 (A)가 맞고 (D)는 의도된 실수이다. 또 이틀 연속 금지 규칙을 무시한 4⁷은 어떤 선택지보다도 훨씬 커서, 제약이 실제로 경우를 걸러 냄을 확인해 준다.
💡핵심 정리
고정된 날을 먼저 정하면 나머지 날은 각각 3가지뿐이니 곱하면 된다: 3⁶=729.
- 금요일을 기준 삼아 바깥으로 세기
- 서로 독립인 날의 수를 곱하기
- 3의 거듭제곱 계산하기