AMC 10 · 2012 · #9

학년 6 rate-ratio
유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed
ratedimensional-analysisfraction-arithmeticsystems-of-equations dimensional-analysisconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
아는 두 이동 시간이 걷기와 움직이는 계단을 합친 것이다. 가만히 서 있을 때의 시간을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
36
(B)
40
(C)
42
(D)
48
(E)
52
풀이 과정
전략 단위 살펴보기

에스컬레이터의 길이가 주어지지 않으므로 도구 #8(단위 살펴보기)로 알맞은 단위를 정한다. 모든 것을 "초당 에스컬레이터 몇 개"로 재면 모르는 길이는 저절로 약분된다. 계산에 앞서 도구 #4(변수 도입하기)가 필요하다. Clea의 걷는 속력을 "계단을 기준으로 한 속력"이라고 이름 붙여야만 두 경우에 같은 값이 등장하고, 그래야 문제가 성립하기 때문이다. 이어서 도구 #16(관점 바꾸기)으로 시선을 Clea에서 에스컬레이터로 옮긴다. 그의 다리가 하지 않은 몫을 계단이 채운 것이다. 마지막으로 도구 #11(거꾸로 풀기)로 에스컬레이터의 비율을 문제가 실제로 묻는 시간으로 되돌린다. 조심할 이유는 분명하다. 솔깃한 지름길 60-24=36은 시간을 빼는 계산인데, 여기서 더해지는 것은 시간이 아니기 때문이다.

1STEP 1

움직임이 무엇을 더하는지 정하기

걷기와 계단이 각각 자기 속도를 보탠다.

t초 동안 통로를 따라 내려간 거리 = wt_다리 + et_계단
2STEP 2

각 경우를 비율로 바꾸기

각 이동이 하나의 속도가 된다.

w = 1/60, w + e = 1/24 (초당 에스컬레이터)
3STEP 3

빼서 에스컬레이터만 남기기

속도를 빼면 계단만 남는다.

e = 1/24 - 1/60 = 5/120 - 2/120 = 3/120 = 1/40
4STEP 4

비율을 다시 시간으로 되돌리기

다시 뒤집으면 40, 보기 (B).

t = 1/e = 1 ÷ 1/40 = 40 초 → (B)
정답
40
답에서 주어진 기록을 거꾸로 복원해 보자. 1/60 + 1/40 = 2/120 + 3/120 = 5/120 = 1/24이고, 이는 정확히 움직이는 위에서 걸을 때의 24초이다. 즉 40은 두 조건 중 하나만이 아니라 둘 다를 재현한다. 거친 범위 검사도 통과한다. 걸음을 빼면 이동은 느려지기만 하므로 서서 가는 시간은 24초보다 커야 하는데 40 ＞ 24이다. 함정 두 개는 답 바로 옆에 놓여 있다. 시간을 빼면 60 - 24 = 36, 선택지 (A)가 되지만 시간은 더해지는 양이 아니고, 실제로 검산도 실패한다. 에스컬레이터가 1/36이라면 함께 갈 때 1 ÷ (1/60 + 1/36) = 22.5초가 되어 24초가 아니다. 두 시간을 평균하면 (60 + 24)/2 = 42, 선택지 (C)가 되는데 이는 근거가 전혀 없다.
💡핵심 정리

시간은 더해지지 않지만 비율은 더해진다: 1/24 - 1/60 = 1/40이므로 가만히 서 있으면 40초가 걸린다.

  • 움직임이 무엇을 더하는지 정하기
  • 각 경우를 비율로 바꾸기
  • 빼서 에스컬레이터만 남기기
  • 비율을 다시 시간으로 되돌리기

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