AMC 10 · 2013 · #10

학년 8 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration
fraction-decimal-conversionfactorsdigit-decomposition convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-decimal-conversion
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
단위분수가 두 자리가 반복되고 그 두 숫자가 서로 다른 순환소수와 같아야 한다. 가능한 분모를 모두 더하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
11
(B)
44
(C)
110
(D)
143
(E)
155
풀이 과정
전략 변수 도입하기

끝없이 이어지는 소수는 그대로 다루기 어려우니 이름을 붙인다(도구 #4). x = 0.ababab…라 두고, 두 자리 블록의 값 10a+b를 N이라 하자. x에 100을 곱하면 소수점이 정확히 블록 하나만큼 밀리면서 뒤쪽 꼬리는 그대로 남으므로, 빼면 무한한 꼬리가 사라지고 소수가 분수 N/99으로 바뀐다. 이것을 1/n과 같다고 놓으면 nN = 99가 되어, 무한소수 문제가 유한한 인수분해 문제로 바뀐다. 그다음에는 99의 인수쌍을 모두 나열하고(도구 #2), 블록의 a = b인 경우를 지운다(도구 #3). 이 나열은 양방향으로 해야 한다. n ∣ 99를 얻은 것은 어떤 n이 '가능한지'만 말해 주므로, 남은 후보마다 실제로 서로 다른 두 숫자가 나오는지 확인해야 한다.

1STEP 1

소수와 블록에 이름 붙이기

순환마디는 그 마디를 99로 나눈 것이다.

100x = N + x → 99x = N → x = N/99, N = 10a+b
2STEP 2

식을 인수쌍 문제로 바꾸기

식이 단순한 인수쌍 문제가 된다.

1/n = N/99 ⟺ nN = 99, 1 ≤ N ≤ 99
3STEP 3

99의 인수쌍을 빠짐없이 나열하기

그런 쌍은 여섯 개뿐이다.

n & 1 & 3 & 9 & 11 & 33 & 99 ; N=99/n & 99 & 33 & 11 & 9 & 3 & 1 ; ab & 99 & 33 & 11 & 09 & 03 & 01
4STEP 4

두 숫자가 같은 블록 지우기

숫자 조건이 그중 절반을 배제한다.

99, 33, 11 → a=b (탈락); 09, 03, 01 → a=0 ≠ b (통과)
5STEP 5

남은 수를 확인하고 더하기

남은 것을 더하면 143, 보기 (D).

S = {11, 33, 99}, 11 + 33 + 99 = 143 → (D)
정답
143
독립적인 검산: 99의 모든 약수의 합은 (1+3+9)(1+11) = 13 · 12 = 156이고, 탈락한 1, 3, 9의 합은 13이므로 남은 합은 156 - 13 = 143으로 일치한다. 구조적 검산: nN = 99에서 N ≤ 9이면 n ≥ 11이 강제되므로 S의 원소는 모두 11의 배수여야 하는데, 11, 33, 99가 모두 그렇다. 선택지들도 같은 여섯 개 목록을 어떻게 자르느냐의 차이일 뿐이라 약수 관점과 잘 맞는다. 11은 통과한 셋 중 하나만 남긴 값, 44 = 11+33은 99를 빠뜨린 값, 110 = 11+99는 33을 빠뜨린 값, 155 = 156-1은 n=1만 버리고 n=3과 n=9를 잘못 남겼을 때 나오는 값이다. 올바른 규칙에 대응하는 것은 143뿐이다. 한 가지 모호함도 정리해 두자. 만약 문제가 블록이 '최소' 순환마디여야 한다고 요구하더라도 결과는 그대로다. 1/11, 1/33, 1/99의 최소 순환마디 길이는 정확히 2이고, 1/3과 1/9는 길이가 1이라 어차피 탈락하기 때문이다. 두 해석 모두 같은 S를 준다.
💡핵심 정리

두 자리 블록이 반복되는 소수는 항상 그 블록을 99로 나눈 값이다. 그래서 1/n = 0.ab는 결국 n과 블록을 곱하면 99라는 뜻이고, 두 숫자가 달라야 한다는 조건은 블록 11, 33, 99만 걸러낼 뿐이다.

  • 소수와 블록에 이름 붙이기
  • 식을 인수쌍 문제로 바꾸기
  • 99의 인수쌍을 빠짐없이 나열하기
  • 두 숫자가 같은 블록 지우기
  • 남은 수를 확인하고 더하기

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