AMC 10 · 2013 · #14
학년 11 algebrapattern답을 골라 클릭하세요.
정보가 엉뚱한 모양으로 주어져 있다. 조건은 로그에 대한 것인데, 묻는 것은 그 로그 안의 수다. 그래서 도구 #15(다르게 정리하기)가 주 도구다. 로그가 같은 간격으로 오르는 사다리를 수 자체가 같은 비율로 커지는 사다리로 다시 쓰고, 이어서 162과 1250을 소인수분해 꼴로 다시 쓰면 소수점 없이 답이 드러난다. 도구 #4(변수 도입하기)로 곱해지는 인수에 이름을 붙여, 알고 있는 양 끝의 두 수를 하나의 방정식으로 묶는다. 도구 #3(가능성 지우기)은 이 문제가 물 수 있는 유일한 지점을 처리한다. 네제곱은 부호를 감추기 때문에 방정식을 만족하는 실수 인수가 둘 나오고, 그중 하나를 반드시 버려야 한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 할 일을 정직하게 두 조각으로 나눈다. 먼저 x가 무엇일 수밖에 없는지 보이고, 그다음 그 x를 가진 수열이 실제로 존재함을 보인다.
로그 사다리를 수 사다리로 바꾸기
사다리가 곱셈 사다리가 된다.
로그에 일정한 값을 더하는 것은 원래 수에 일정한 인수를 곱하는 것과 같으므로, 고르게 벌어진 로그 목록 아래에는 고르게 곱해지는 수 목록이 깔려 있다.
로그에 일정한 양을 더하는 것은 정해진 배율을 곱하는 것이므로, 고르게 늘어선 로그는 등비의 사다리 위에 있다.
▸ 왜?
로그는 밑을 몇 번 쓰는지를 세므로, 횟수를 더하는 것은 값을 곱하는 것이다.
▸ 왜?
고르게 늘어선 목록은 매번 같은 간격으로 오르며, 그것이 바로 주어진 조건이다.
양 끝을 하나로 묶기
양 끝이 비를 정한다.
주어진 두 수가 정확히 네 걸음 떨어져 있으므로, 그 둘만으로 이미 곱해지는 인수의 네제곱이 정해진다.
9.A-CED.A.1Introduce A Variable소인수에서 네제곱근 읽어내기
소인수가 네제곱근을 분명하게 만든다.
소인수는 소수점 근삿값이라면 뭉개 버렸을 숨은 네제곱을 드러내 준다.
8.EE.A.1Organize Information In More Ways또 하나의 네제곱근 지우기
밑이 양수여서 음의 근이 지워진다.
네제곱은 부호를 지워 버리므로 부호는 다른 곳에서 되찾아야 한다. 여기서는 로그가 음수를 받지 않는다는 사실이 그 자리다.
11.N-RN.A.2Eliminate Possibilities사다리를 쌓아 끝에 닿는지 확인하기
사다리를 쌓으면 270, 보기 (B).
다섯 수를 실제로 적어 보면 강제로 정해졌을 뿐인 답이 검증된 답으로 바뀐다.
9.F-IF.A.3Identify Subproblems로그가 같은 간격으로 오르면 그 안의 수는 같은 비율로 커진다. 그러니 양 끝을 162 = 2 · 3⁴, 1250 = 2 · 5⁴로 분해하면 곱해지는 인수 5/3이 곧바로 떨어져 나온다.
- 로그 사다리를 수 사다리로 바꾸기
- 양 끝을 하나로 묶기
- 소인수에서 네제곱근 읽어내기
- 또 하나의 네제곱근 지우기
- 사다리를 쌓아 끝에 닿는지 확인하기