AMC 10 · 2013 · #16

학년 7 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

mean-median-mode-rangeweighted-averageoptimization extreme-principleconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

여러 평균을 알지만 한 무더기 자체의 평균은 끝내 알 수 없다. 마지막 조합의 최대 정수 평균을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 극단의 원리

"가장 큰"이라는 말은 해야 할 일이 두 가지라는 뜻이다. 목표 평균이 어떤 천장을 결코 넘을 수 없음을 보이고, 그 천장 바로 아래 정수에 실제로 도달하는 무더기 배치를 만들어야 한다. 돌 개수 세 개와 무더기 C의 전체 무게에 이름을 붙이고, 주어진 각 평균을 전체 무게에 대한 식으로 바꾼 뒤, 목표 평균을 44 + (상수)×b/(b+c)라는 하나의 꼴로 압축한다. 이 꼴이 되면 천장이 바로 보인다. b/(b+c)는 1에 얼마든지 다가갈 수 있지만 결코 1이 될 수 없기 때문이다. 그다음 천장 바로 아래 정수를 거꾸로 풀어 돌 개수를 찾는다.

1STEP 1

모든 평균을 전체 무게로 바꾸기

각 평균이 전체 값이 된다.

평균 = (전체 무게)/(돌 개수); W_A = 40a, W_B = 50b, W_C = w

2STEP 2

무더기 A와 B가 비를 고정한다

첫 짝이 비를 정한다.

(40a+50b)/(a+b) = 43 ⟹ 40a+50b = 43a+43b ⟹ 3a = 7b ⟹ a = 7/3b

3STEP 3

무더기 A와 C가 C의 전체 무게를 고정한다

둘째 짝이 모르는 전체 값을 정한다.

(40a + w)/(a+c) = 44 ⟹ 40a + w = 44a + 44c ⟹ w = 4a + 44c

4STEP 4

목표를 깔끔한 하나의 꼴로 고쳐 쓰기

목표가 상수에 분수를 더한 꼴로 다시 쓰인다.

M = (50b + w)/(b+c) = (178/3b + 44c)/(b+c) = (44(b+c) + 46/3b)/(b+c) = 44 + 46/3·b/(b+c)

5STEP 5

천장 읽어내기

그 분수는 1 아래에 머물러 천장이 생긴다.

b ≥ 1, c ≥ 1 ⟹ 0 ＜ b/(b+c) ＜ 1 ⟹ 44 ＜ M ＜ 178/3 = 59 1/3

6STEP 6

59에 도달하는 배치 만들기

실제 배치가 59에 닿는다, 보기 (E).

b/(b+c) = 45/46 ⇔ b = 45c; (a,b,c) = (105,45,1), w = 464; (2250+464)/46 = 59

정답

실제 무더기 (a,b,c) = (105,45,1)과 무게 4200, 2250, 464는 주어진 모든 조건을 만족한다. 4200/105 = 40, 2250/45 = 50, (4200+2250)/150 = 43, (4200+464)/106 = 44이고, (2250+464)/46 = 59다. 그러므로 59는 진짜로 도달 가능하다. 반대쪽에서 정확한 천장은 178/3 = 59 1/3인데, 이는 c = 0이어야만 닿으므로 결코 도달되지 않는다. 보기가 59에서 멈추는 이유가 여기 있다. 다음 정수는 천장 바로 너머다. 감각적인 확인도 해 보자. 무더기 C에게 아주 무거워지라고 요구하는 셈이니 목표 평균은 50보다 위여야 하고, 무더기 B의 50파운드 돌들이 늘 조합을 끌어내리므로 무한정 커지지 못하고 59 근처에 머물러야 한다.

💡핵심 정리

모든 평균을 전체 무게로 바꾸고, 답을 "44 더하기 나머지"로 압축해 자유로운 비를 하나만 남긴 다음, 가장 큰 값을 두 번 증명하라. 더 위는 없다는 것과, 이 무더기가 실제로 그 값에 닿는다는 것.

모든 평균을 전체 무게로 바꾸기
무더기 A와 B가 비를 고정한다
무더기 A와 C가 C의 전체 무게를 고정한다
목표를 깔끔한 하나의 꼴로 고쳐 쓰기
천장 읽어내기
59에 도달하는 배치 만들기