AMC 10 · 2013 · #17
학년 6 number-theory prime-factorizationfactorialdivisibility-rules convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: prime-factorization
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
차례마다 남은 것의 점점 큰 비율을 가져가고, 모든 몫이 정수여야 한다. 마지막 사람의 몫을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
720
(B)
1296
(C)
1728
(D)
1925
(E)
3850
풀이 과정
전략 변수 도입하기
처음 개수를 모르니 문자로 이름 붙이고 12번째 해적의 몫을 하나의 분수로 쓴다. 이 몫은 처음 개수가 분모를 지워줄 때만 정수가 되므로, 진짜 핵심은 소인수 문제다. 분모가 필요로 하는 2와 3의 거듭제곱을 딱 맞게 공급하는 가장 작은 처음 개수를 찾고, 무엇이 남는지 본다.
1STEP 1
매 차례 남는 금화 따라가기
매 차례 남은 것이 분수만큼 줄어든다.
해적 k 이후: 남는 양 = (12-k)/12×(직전 더미)
남은 것의 일부를 가져가는 것은 더미에 남는 비율을 곱하는 것과 같다.
남은 것의 몫을 가져가는 것은 더미에 남는 몫을 곱하는 것과 같다.
▸ 왜?
더미의 몫은 그것을 같은 조각으로 자른 것이므로, 남는 것은 나머지 조각들이다.
분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
▸ 왜?
차례마다 저마다 정해진 배율이 곱해지므로, 전체 과정은 하나의 곱셈 사슬이다.
일정한 비면 어느 항이든 닿는다목록이 매 걸음 같은 수로 곱해지면 어떤 항이든 처음 값에 그 수를 되풀이해 곱한 것이므로, 목록 전체가 두 수로 정해진다.
2STEP 2
마지막 해적의 몫 쓰기
마지막 몫은 하나의 긴 곱이다.
S₁₂ = N·(11·10…1)/12¹¹ = (N · 11!)/12¹¹
남는 비율들을 이어 곱하면 전체 과정이 마지막 몫에 대한 깔끔한 식 하나로 바뀐다.
6.EE.B.6Introduce A Variable3STEP 3
조각들을 소수로 분해하기
소수로 쪼개면 무엇이 나눠야 하는지 드러난다.
S₁₂ = (N · 2⁸ · 3⁴ · 5² · 7 · 11)/(2²² · 3¹¹) = (N · 5² · 7 · 11)/(2¹⁴ · 3⁷)
소인수분해는 어떤 인수를 공급해야 하고 어떤 것이 지워지는지 정확히 보여준다.
6.EE.A.1Identify Subproblems4STEP 4
가장 작은 처음 개수 찾기
그것이 가능한 가장 작은 시작을 알려 준다.
N_min = 2¹⁴ · 3⁷
가장 작은 안전한 처음 개수는 가장 까다로운 차례를 지울 만큼의 2와 3만 딱 지닌다.
6.NS.B.4Identify Subproblems5STEP 5
지우고 몫 읽어내기
약분하면 1925가 남는다, 보기 (D).
S₁₂ = 2¹⁴ · 3⁷·(5² · 7 · 11)/(2¹⁴ · 3⁷) = 5² · 7 · 11 = 1925
N을 모든 2와 3을 지우도록 만들었기에, 홀수 인수 5, 5, 7, 11만 살아남는다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities정답
1925
처음 개수를 2¹⁴ x 3⁷만 딱 담고 그 이상은 담지 않도록 골랐으므로, 그 소수들은 완전히 지워지고 최종 몫은 5² x 7 x 11 = 1925가 된다. 2의 인수가 전부 사라졌으니 답은 홀수여야 하는데, 다섯 보기 중 홀수는 1925뿐이라 (D)가 확인되고 나머지는 한눈에 지워진다.
💡핵심 정리
'남은 것의 몇 분의 몇'을 이어 붙여 하나의 식으로 만들고, 소인수가 가장 작은 시작값과 무엇이 살아남는지 알려주게 하라.
- 매 차례 남는 금화 따라가기
- 마지막 해적의 몫 쓰기
- 조각들을 소수로 분해하기
- 가장 작은 처음 개수 찾기
- 지우고 몫 읽어내기