AMC 10 · 2013 · #21

학년 11 algebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
logarithm-propertiesrecursive-sequenceestimation convert-to-algebraextreme-principle ↑ 선수 지식: logarithm-properties
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
로그가 수천 겹으로 중첩되어 있다. 그 값이 어느 구간에 드는지 판정하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$(\log 2016, \log 2017)$
(B)
$(\log 2017, \log 2018)$
(C)
$(\log 2018, \log 2019)$
(D)
$(\log 2019, \log 2020)$
(E)
$(\log 2020, \log 2021)$
풀이 과정
전략 변수 도입하기

겹이 이천 층이 넘으므로 하나씩 펼치는 것은 불가능하다. 하지만 가장 바깥 층은 이미 눈에 보인다. A = log(2013 + T)이고, 여기서 T는 나머지 전체이다. 그래서 T에 문자로 이름을 붙인다. 로그는 순서를 보존하므로 다섯 구간은 T에 대한 폭 1짜리 범위 다섯 개로 바뀌고, 문제는 '어느 연속한 두 정수가 T를 가두는가'로 바뀐다. 그다음 T의 아래와 위를 각각 막는데, 선택지가 서로 맞닿아 있으므로 두 부등식 모두 엄격해야 한다.

1STEP 1

겹친 식을 점화식으로 쓰기

겹친 식은 단순한 점화식이다.

f(2)=log 2, f(n)=log(n+f(n-1)) (n ≥ 3), A=f(2013)=log(2013+f(2012))
2STEP 2

선택지를 꼬리의 범위로 바꾸기

선택지가 안쪽 값의 범위가 된다.

T=f(2012), A=log(2013+T), log(2013+k) ＜ A ＜ log(2014+k)⇔ k ＜ T ＜ k+1
3STEP 3

꼬리를 아래에서 막기

양수라는 점이 아래에서 막는다.

f(n) ＞ 0 (모든 n ≥ 2) ⟹ T=log(2012+f(2011)) ＞ log 2012 ＞ log 1000=3
4STEP 4

꼬리가 4에 닿지 못함을 증명하기

귀납법이 위에서 막는다.

3 ≤ n ≤ 9996 이고 f(n-1) ＜ 4 ⟹ n+f(n-1) ＜ 9996+4=10⁴ ⟹ f(n)=log(n+f(n-1)) ＜ 4; 2012 ≤ 9996 ⟹ T ＜ 4
5STEP 5

구간을 확정하기

그것이 첫 구간을 지목한다, 보기 (A).

3 ＜ T ＜ 4 ⟹ 2016 ＜ 2013+T ＜ 2017 ⟹ log 2016 ＜ A ＜ log 2017
정답
(log 2016, log 2017)
두 가지로 확인한다. 자기 일관성: T는 T = log(2012 + T)를 만족해야 한다. T = 3.30을 넣으면 log(2015.30) = 3.3045로 거의 같은 값이 되돌아오므로 T는 3.3045 근처, 즉 (3, 4) 안쪽 깊숙이 있다. 그러면 A는 log(2016.30) 근처이고 이는 주장대로 (log 2016, log 2017) 안이다. 안정성: 논증은 f(2011)이나 그보다 안쪽 값을 전혀 쓰지 않았고, 그것이 양수이며 4보다 작다는 사실만 썼다. 이천 층짜리 꼬리 전체를 0과 4 사이의 어떤 수로 바꿔치기해도 2013 + T는 1도 채 움직이지 않으므로, 더 펼쳐 본들 A를 (A) 밖으로 밀어낼 수 없다. 모든 작업을 로그 안쪽에서 한 것도 중요하다. log 2016과 log 2017의 차이는 약 0.0002뿐이라 A 자체를 소수로 어림했다면 턱없이 거칠었겠지만, 2016과 2017 사이의 간격은 온전한 1이다.
💡핵심 정리

로그는 수를 워낙 세게 눌러서 이천 층짜리 탑도 4보다 작다. 그러니 안쪽 값을 두 정수 사이에 가두면 바깥 값은 딱 한 구간에 떨어진다.

  • 겹친 식을 점화식으로 쓰기
  • 선택지를 꼬리의 범위로 바꾸기
  • 꼬리를 아래에서 막기
  • 꼬리가 4에 닿지 못함을 증명하기
  • 구간을 확정하기

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