AMC 10 · 2013 · #22

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

place-valuemulti-digit-arithmeticdigit-constraintsprobability-basic convert-to-algebrawork-backwardssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: place-valueprobability-basic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

무작위로 고른 여섯 자리 회문수를 11로 나눈다. 결과도 회문수일 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{8}{25}$

(B)

$\frac{33}{100}$

(C)

$\frac{7}{20}$

(D)

$\frac{9}{25}$

(E)

$\frac{11}{30}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4(변수 도입하기)가 핵심이다. 각 자리 숫자에 이름을 붙이면 '두 수의 표기'에 관한 조건이 문자에 대한 산술로 바뀌고, 그래야 나뉘는 수와 몫을 동시에 통제할 수 있다. 도구 #11(거꾸로 풀기)이 결정적인 방향 전환을 제공한다. 6자리 수를 11로 나누는 일은 다루기 어렵지만, 몫 후보에 11을 곱하는 일은 10m + m이라는 덧셈 한 번이라 각 자리의 계산이 눈에 보인다. 그래서 아래로 내려가는 대신 위로 올라가는 대응을 살핀다. 도구 #14(극단의 원리)로 몫의 최솟값과 최댓값을 잡으면 몫이 몇 자리인지 정해지고, 크기 조건만으로는 가려지기 쉬운 경우 하나를 확실히 닫을 수 있다. 마지막으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 살아남은 숫자 세 쌍을 하나씩이 아니라 체계적으로 훑어 센다.

1STEP 1

자릿수에 이름 붙이고 전체 경우 세기

세 숫자가 회문수 전체를 설명한다.

n = X · 100001 + Y · 10010 + Z · 1100 = 11(9091X + 910Y + 100Z)

2STEP 2

몫의 크기 범위 잡기

몫의 크기가 곧바로 막힌다.

9091 ≤ m ≤ 90909

3STEP 3

4자리 몫은 불가능함을 보이기

네 자리 몫은 불가능하다.

m = 9QQ9 → n ≡ 9 (mod 10), 100001 ≤ n ≤ 109989 → n 의 첫 자리는 1

4STEP 4

몫 후보에 11 곱하기

다시 곱하면 자릿수 합이 보인다.

11m = A · 10⁵ + s · 10⁴ + t · 10³ + t · 10² + s · 10 + A, s = A+B, t = B+C

5STEP 5

올림이 없으면 성립한다

올림이 없으면 대칭이 살아남는다.

A+B ≤ 9이고 B+C ≤ 9 → n = A (A+B) (B+C) (B+C) (A+B) A

6STEP 6

올림은 반드시 대칭을 깨뜨린다

올림은 언제나 그것을 깨뜨린다.

n/11 이 회문수 ⇔ A+B ≤ 9이고 B+C ≤ 9

7STEP 7

숫자 세 쌍 세기

되는 세 쌍을 세면 330이다.

Σ_B=0⁸ (9-B)(10-B) = 90 + 72 + 56 + 42 + 30 + 20 + 12 + 6 + 2 = 330

8STEP 8

성공 경우를 전체 경우로 나누기

나누면 11/30, 보기 (E).

P = 330/900 = 11/30 → (E)

정답

11/30

11/30 ≈ 0.367은 1/3보다 조금 큰 값인데, 이는 자연스럽다. 조건 A+B ≤ 9와 B+C ≤ 9는 각각 절반보다 넉넉히 자주 성립하고, 공통 숫자 B를 통해 서로 크게 겹치기 때문이다. 개수도 다른 방식의 합으로 확인된다. Σ_B=0⁸(9-B)(10-B) = 2[C(2, 2) + C(3, 2) + … + C(10, 2)] = 2C(11, 3) = 330이며 이는 하키스틱 항등식이다. 구체적인 확인도 양방향 모두 맞는다. 123321 ÷ 11 = 11211은 회문수이고 대응하는 세 쌍 (A,B,C) = (1,1,2)는 A+B = 2 ≤ 9, B+C = 3 ≤ 9를 만족한다. 반면 981189 ÷ 11 = 89199는 회문수가 아니며, 이 수를 만들어 내는 적법한 세 쌍이 없다는 사실과 일치한다. 마지막으로 330/900은 분모가 900의 약수인 분수로 약분되어야 하는데 30이 그러하다.

💡핵심 정리

회문수에 11을 곱하는 것은 한 자리 밀어 놓은 자기 자신을 더하는 것이라, 어느 자리도 9를 넘지 않을 때만 거울 모양이 살아남는다. 그것을 깨뜨릴 수 있는 것은 올림뿐이다.

자릿수에 이름 붙이고 전체 경우 세기
몫의 크기 범위 잡기
4자리 몫은 불가능함을 보이기
몫 후보에 11 곱하기
올림이 없으면 성립한다
올림은 반드시 대칭을 깨뜨린다
숫자 세 쌍 세기
성공 경우를 전체 경우로 나누기