AMC 10 · 2013 · #25

학년 11 algebracounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

complex-numberscompleting-the-squarequadratic-equations work-backwardsconvert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: complex-numbersquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

이차 사상이 위쪽 반평면의 입력을 작은 격자 출력으로 보내야 한다. 입력의 수를 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

399

(B)

401

(C)

413

(D)

431

(E)

441

풀이 과정

전략 거꾸로 풀기

조건을 만족하는 z들은 반평면에 흩어진 무리수 점들이라 나열할 것이 없다. 반면 허용된 출력값들은 격자점 441개로 이루어진 깔끔한 21 × 21 격자다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 탐색 방향을 뒤집는다: 어떤 z가 조건을 만족하는지 묻는 대신, 441개의 목표점 c 중 어떤 것이 위쪽 반평면에서 도달 가능하며 몇 번 도달되는지를 묻는 것이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 장치를 대준다 — 완전제곱으로 고쳐 쓰면 f를 되돌리는 일이 제곱근을 취하는 일이 된다 — 그리고 도구 #4(변수 도입하기)로 w=z+i/2라 이름 붙이면 결승선 Im(z) ＞ 0이 깔끔한 높이 조건 Im(w) ＞ 1/2로 바뀐다. 그다음 두 가지는 가정이 아니라 증명해야 한다: 어떤 목표점도 두 번 도달되지 않는다는 것(근의 합에서 나온다), 그리고 조건을 통과하는 목표점은 실제로 도달된다는 것(제곱근을 직접 만들어서 보인다). 이 대응이 진짜 일대일 대응임이 확인되면, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 살아남은 격자쌍을 열별로 세고, 도구 #16(관점 바꾸기)이 반대로 탈락하는 몇 개를 세어 같은 수를 다시 확인한다.

1STEP 1

완전제곱으로 고친 뒤 평행이동

완전제곱으로 고치면 단순한 제곱근이 된다.

f(z)=(z+i/2)²+5/4; w=z+i/2 ⟹ w²=c-5/4, Im(w) ＞ 1/2

2STEP 2

같은 목표점을 두 번 맞히지 못한다

어떤 출력도 두 번 맞지 않는다.

z²+iz+(1-c)=0 → z₁+z₂=-i → Im(z₁)+Im(z₂)=-1

3STEP 3

제곱근은 얼마나 높이 올라가는가

제곱근이 얼마나 오르는지는 단순한 식이다.

w²=u=p+qi, r=|u|: x²-y²=p, x²+y²=r → y²=(r-p)/2; Im(w) ＞ 1/2 가능⇔ r-p ＞ 1/2

4STEP 4

높이 조건이 b² ≥ a로 바뀐다

높이 조건이 하나의 부등식이 된다.

p=a-5/4, q=b: r ＞ p+1/2⇔ b² ＞ a-1⇔ b² ≥ a

5STEP 5

조건을 통과한 쌍마다 z가 하나씩

따라서 입력을 세는 것은 쌍을 세는 것이다.

#{z:Im(z) ＞ 0, f(z)=a+bi 가 조건을 만족}=#{(a,b)inZ²: |a| ≤ 10, |b| ≤ 10, b² ≥ a}

6STEP 6

살아남은 쌍 세기

그 개수는 399, 보기 (A).

a ≤ 0: 11 · 21=231; a ≥ 1: 20+3 · 18+5 · 16+14=168; 231+168=399→(A)

정답

399

격자에는 점이 441개 있고 이는 보기 (E)이므로 답은 그보다 조금 작아야 한다. 실제로 탈락하는 쌍은 441-399=42개뿐인데, a는 10까지밖에 못 가는 반면 b²은 100까지 올라가므로 b² ≥ a는 통과하기 쉬운 조건이라 이는 그럴듯하다. 가장 미묘한 두 자리에서 기준을 확인해 보자. 먼저 c=0, 즉 a=b=0은 0 ≥ 0이므로 통과해야 한다: z²+iz+1=0을 풀면 z=-1±√(5)/2i이고 허수부는 (√5-1)/2≈ 0.618 ＞ 0과 (-√5-1)/2≈-1.618 ＜ 0이다 — 조건을 만족하는 근이 정확히 하나이고, 두 허수부의 합은 2단계가 약속한 대로 -1이다. 다음으로 경계에 있는 c=10+3i는 b²=9 ＜ 10=a라 기준상 "도달 불가"인데, 실제 두 근은 z=3과 z=-3-i이다. f(3)=9+3i+1=10+3i이고 f(-3-i)=(8+6i)+(1-3i)+1=10+3i이기 때문이다. 하나는 정확히 실수축 위에, 다른 하나는 그 아래에 있으므로 둘 다 세지 않는다 — 이 목표점을 걷어내는 것은 엄격한 부등호 Im(z) ＞ 0이며, 기준이 a=b²+1에서 딱 맞물려 있음을 보여 준다. 오답들은 모두 "검사를 너무 일찍 멈춘" 경우다: 탈락하는 42쌍은 b=0인 것 10개, |b|=1인 것 18개, |b|=2인 것 12개, |b|=3인 것 2개로 갈라지는데, 첫 덩어리만 빼면 431 (D), 앞의 두 덩어리를 빼면 413 (C), 앞의 세 덩어리를 빼면 401 (B), 아무것도 빼지 않으면 441 (E)이다.

💡핵심 정리

z를 찾아 헤매지 말고 출력값을 세라. 완전제곱으로 고치면 a+bi는 b² ≥ a일 때 실수축 위쪽에서 정확히 한 번 도달되고 아니면 전혀 도달되지 않으므로, 답은 격자쌍 441개 중 그 하나의 조건을 통과하는 개수일 뿐이다.

완전제곱으로 고친 뒤 평행이동
같은 목표점을 두 번 맞히지 못한다
제곱근은 얼마나 높이 올라가는가
높이 조건이 b² ≥ a로 바뀐다
조건을 통과한 쌍마다 z가 하나씩
살아남은 쌍 세기