AMC 10 · 2013 · #10
학년 6 logicnumber-theory invariant-monovariantsystems-of-equationsmultiples invariant-monovariantwork-backwards ↑ 선수 지식: systems-of-equations
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
두 교환이 토큰을 주고받다가 더 이상 아무것도 할 수 없게 된다. 새 토큰의 최종 개수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
62
(B)
82
(C)
83
(D)
102
(E)
103
풀이 과정
전략 다르게 정리하기
교환을 하나하나 따라가면 수십 단계가 걸린다. 대신 각 색깔에 점수를 붙이되, 어떤 교환을 해도 총 점수가 변하지 않도록 값을 고른다. 그러면 총점은 처음부터 끝까지 그대로이고, 마지막에 남는 몇 개의 토큰에 남은 점수가 어떻게 나뉘는지만 밝히면 된다.
1STEP 1
각 교환의 순효과 찾기
각 교환에는 단순한 순효과가 있다.
Red booth: -2 red, +1 blue, +1 silver; Blue booth: +1 red, -3 blue, +1 silver
각 부스를 더하고 빼는 목록으로 줄이면 두 교환을 비교하기 쉽다.
4.OA.A.3Organize Information In More Ways2STEP 2
각 토큰에 점수 붙이기
점수를 정하면 두 교환 모두 값이 보존된다.
red=4, blue=3, silver=5: 2 · 4 = 5 + 3, 3 · 3 = 5 + 4
두 부스가 모두 같은 점수를 같은 점수로 바꾼다면 총 점수는 절대 변하지 않는다.
두 부스가 모두 같은 점수를 같은 점수로 바꿔 준다면, 총 점수는 결코 달라지지 않는다.
▸ 왜?
내놓는 것이 받는 것과 정확히 맞아떨어지므로, 새로 생기거나 사라지는 것이 없다.
한쪽이 얻은 만큼 다른 쪽이 잃는다한 덧수에서 다른 덧수로 얼마를 옮겨도 합은 꿈쩍하지 않으므로, 한 수를 편한 수로 만드는 것은 공짜다.
▸ 왜?
총합은 토큰의 점수를 더한 것이므로, 정해진 총합이 처음과 끝을 이어 준다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
고정된 총점 계산하기
고정된 총점은 525다.
75 · 4 + 75 · 3 = 300 + 225 = 525
525점이라는 하나의 고정된 수가 복잡한 시작과 복잡한 끝을 이어 준다.
4.NBT.B.5Organize Information In More Ways4STEP 4
끝 상태 설명하기
끝 상태에는 남는 것이 아주 적다.
red ∈ {0, 1}, blue ∈ {0, 1, 2}
끝까지 살아남는 빨강과 파랑은 아주 적은 개수뿐이다.
6.NS.C.7Work Backwards5STEP 5
끝에서 525점 나누기
총점을 나누면 선택지가 둘뿐이다.
5·(silver) = 525 - (4·red + 3·blue), 4·red+3·blue∈{0, 10}
은 개수는 정수여야 하므로 남은 점수가 5의 배수인 경우만 실제로 일어난다.
4.OA.B.4Extreme Principle6STEP 6
0-0 경우 배제하고 마무리하기
하나는 불가능하므로 답은 103이다.
5·(silver) = 525 - 10 = 515 → silver = 103
마지막 교환은 항상 동전을 돌려주므로 두 색을 동시에 0으로 비울 수 없다.
4.OA.A.3Extreme Principle정답
103
남은 것을 직접 확인한다. 빨강 1개는 4점, 파랑 2개는 6점이므로 남은 점수는 10점이고 은 점수는 515점이라 515 / 5 = 103개다. 또 41 + 32 = 10은 실제로 5의 배수라 정수 조건과 맞고, 총합 4 + 6 + 515 = 525가 시작 값과 같다. 모두 들어맞으므로 103, 즉 보기 (E)가 맞다.
💡핵심 정리
각 토큰에 점수를 붙여 모든 교환을 대등한 맞바꿈으로 만들면, 교환이 어떻게 일어나든 변하지 않는 총점이 답을 알려준다.
- 각 교환의 순효과 찾기
- 각 토큰에 점수 붙이기
- 고정된 총점 계산하기
- 끝 상태 설명하기
- 끝에서 525점 나누기
- 0-0 경우 배제하고 마무리하기