AMC 10 · 2013 · #14
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'가장 작은 값'이라는 말은 곧장 극단의 원리를 부른다. 조건이 모두 성립하는 선에서 N을 최대한 낮추면 된다. 먼저 첫 두 항을 a, b로 이름 붙이면 일곱째 항이 a, b에 대한 깔끔한 식이 된다. 그 식 덕분에 '일곱째 항이 같은 두 수열'은 '같은 값을 주는 서로 다른 두 (a, b) 쌍'으로 바뀌고, 극단의 원리로 a ＜ = b라는 순서 규칙이 허락하는 가장 작은 값을 쫓는다.
일곱째 항을 변수로 쓰기
공유하는 항은 일차 식이다.
시작하는 두 수에 이름을 붙이면 고정된 덧셈 규칙이 그 둘을 일곱째 항의 한 식으로 끝까지 실어 나른다.
5.OA.B.3Introduce A Variable두 수열, 같은 N
값이 같다는 것이 방정식 하나를 준다.
두 일곱째 항 식을 같다고 놓으면 전체 문제가 두 시작 쌍 사이의 한 관계로 바뀐다.
6.EE.B.6Introduce A Variable해 사이의 가장 작은 간격
서로소인 계수가 가장 작은 간격을 정한다.
5와 8이 공약수가 없기에 첫째 항은 8씩만 뛸 수 있고 둘째 항은 5씩 미끄러진다.
두 계수가 공통된 인수를 지니지 않으므로, 한쪽 시작값은 정해진 걸음으로 뛰고 다른 쪽은 자기 걸음으로 미끄러진다.
▸ 왜?
소인수 조리법이 다른 두 수는 1보다 큰 것을 공유하지 않으므로, 어느 쪽도 다른 쪽의 걸음을 흡수할 수 없다.
▸ 왜?
따라서 해의 무늬는 두 계수의 최소공배수가 지나서야 되풀이된다.
순서 규칙을 적용해 최소화하기
증가 조건이 시작값을 제한한다.
시작하는 두 수를 모두 허용되는 최솟값으로 밀면 일곱째 항이 갈 수 있는 가장 낮은 곳까지 내려간다.
7.EE.B.4Extreme Principle두 수열을 확인하고 N 읽기
공유하는 가장 작은 값은 104, 보기 (E).
104로 끝나는 두 수열을 실제로 하나 보이면 그 값이 바람이 아니라 진짜 도달 가능함이 증명된다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List일곱째 항을 5a + 8b라는 식으로 바꾼 뒤, 커지는 순서 규칙이 허락하는 한 시작하는 두 수를 최대한 낮추면 공유되는 가장 작은 값이 나온다.
- 일곱째 항을 변수로 쓰기
- 두 수열, 같은 N
- 해 사이의 가장 작은 간격
- 순서 규칙을 적용해 최소화하기
- 두 수열을 확인하고 N 읽기