AMC 10 · 2013 · #15

학년 6 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
prime-factorizationfactorialprime-numbers extremal-constructionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-factorizationfactorial
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 수를 계승의 곱의 비로 쓰되 맨 앞의 두 값을 가능한 한 작게 한다. 그 둘의 차를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5
풀이 과정
전략 극단의 원리

'가장 작게'라는 말은 곧장 극단의 원리를 가리킨다. 여전히 성립하는 가장 작은 a₁과 가장 작은 b₁을 쫓아가면 된다. 열쇠는 소인수다. 팩토리얼 n!은 n이 소수 p까지 올라가야만 그 소수 p를 담으므로, 2013 안의 가장 큰 소수가 a₁을 정하고, 딸려 오는 가장 큰 불필요한 소수가 b₁을 정한다. 문제를 'a₁은 얼마나 작을 수 있나'와 'b₁은 얼마나 작을 수 있나'로 쪼갠 뒤, 실제 표현 하나를 만들어 그 최솟값에 도달함을 확인한다.

1STEP 1

2013을 소인수분해하기

그 수는 세 소수로 쪼개진다.

2013 = 3 × 11 × 61
2STEP 2

소수 61이 a₁ = 61을 강제한다

가장 큰 소수가 위쪽 계승을 강제한다.

61 ∣ 2013 → a₁ ≥ 61, min a₁ = 61
3STEP 3

61!이 59를 끌고 와 b₁ = 59를 강제한다

그 계승이 원치 않는 소수를 끌고 온다.

61! 는 59를 포함, 59 ∤ 2013 → b₁ ≥ 59, a₁ + b₁ = 120
4STEP 4

120에 도달하는 표현 만들기

실제 표현이 그 최솟값에 닿는다.

61! 11! 3!/59! 10! 5! = (60 · 61) · 11 · 1/20 = 3660·11/20 = 2013
5STEP 5

차를 구하기

차는 2, 보기 (B).

|a₁ - b₁| = |61 - 59| = 2
정답
2
두 기준점은 양쪽 끝에서 나온다. 61은 2013 안의 가장 큰 소수라 분자에 반드시 나타나야 하고, 59는 61!이 어쩔 수 없이 끌고 오지만 2013은 원하지 않는 가장 큰 소수라 분모에 반드시 나타나야 한다. a₁ ＞ = 61과 b₁ ＞ = 59 두 경계가 모두 딱 맞고, 명시적 표현 (61! 11! 3!)/(59! 10! 5!) = 2013이 둘 다 도달됨을 확인해 주므로 |61 - 59| = 2는 확실하다.
💡핵심 정리

수 안의 가장 큰 소수가 위쪽 팩토리얼을 정하고, 그것이 딸려 오게 하는 가장 큰 불필요한 소수가 아래쪽 팩토리얼을 정한다.

  • 2013을 소인수분해하기
  • 소수 61이 a₁ = 61을 강제한다
  • 61!이 59를 끌고 와 b₁ = 59를 강제한다
  • 120에 도달하는 표현 만들기
  • 차를 구하기

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