AMC 10 · 2013 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

angle-sum-polygonisosceles-triangletrigonometric-ratiosperimeter identify-subproblemsinvariant-monovariantextreme-principle ↑ 선수 지식: angle-sum-polygonisosceles-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

변의 합이 정해진 등각 오각형을 늘려 별을 만든다. 별 테두리 길이의 폭을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{1}{2}$

(C)

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

(D)

$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

(E)

$\sqrt{5}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

별은 복잡한 하나의 도형이 아니라, 오각형의 각 변 위에 하나씩 올라선 다섯 개의 삼각형 뿔이다. 이렇게 쪼개는 것이 핵심이다. 등각 조건이 그림 속 모든 각을 고정하므로 다섯 뿔의 각이 전부 같고, 각이 같으면 모양이 같다. 그러면 각 뿔의 테두리 길이는 그 뿔이 올라선 변의 일정 배수가 되고, 다섯 조각을 더하면 전체가 그 배수 곱하기 오각형의 둘레가 된다. 다섯 변의 길이에 이름을 붙여, 소거가 짐작이 아니라 눈에 보이게 만든다. 여기서 두 가지는 주장이 아니라 증명이 필요하다: 이런 오각형이면 별이 항상 실제로 만들어진다는 것, 그리고 이 오각형 집합에 모양이 둘 이상 들어 있다는 것이다. 후자가 아니라면 '최댓값 빼기 최솟값'은 공허한 질문이 된다.

1STEP 1

그림 속 모든 각을 고정하기

등각이 그림 속 모든 각을 고정한다.

((5-2) × 180°)/5 = 108°, 180° - 108° = 72°

2STEP 2

별이 항상 만들어짐을 보이기

별은 언제나 만들어진다.

72° + 72° = 144° ＜ 180° → 두 연장선은 만난다

3STEP 3

다섯 뿔은 모두 같은 모양

다섯 뿔은 모두 같은 모양이다.

180° - 72° - 72° = 36°; 각 뿔은 72°-72°-36° → 빗변 = k · 밑변

4STEP 4

테두리 열 조각을 모두 더하기

따라서 테두리는 합의 정해진 배수다.

s = Σ_i=1⁵ 2k x_i = 2k (x₁+x₂+x₃+x₄+x₅) = 2k · 1 = 2k

5STEP 5

모양을 극단까지 밀어보기

극단적인 모양도 같은 길이를 준다.

(x₁,…,x₅) = (3/10, (7-√(5))/40, (7+√(5))/40, (7+√(5))/40, (7-√(5))/40) → s = 2k 그대로

6STEP 6

상수는 폭이 0이다

상수는 폭이 0이다, 보기 (A).

s_max - s_min = 2k - 2k = 0

정답

그 상수가 지어낸 것이 아니라 실제 수임을 확인하자. 72°-72°-36° 삼각형에서 밑각 하나를 이등분하면 같은 세 각을 가진 더 작은 삼각형이 잘려 나오고, 두 닮은 삼각형을 비교하면 비율이 k = (1+√(5))/2, 즉 황금비임을 얻는다. 따라서 둘레가 1인 모든 볼록 등각 오각형에서 s = 2k = 1 + √(5) ≈ 3.236이다. 직접 확인해도 정오각형이 1+√(5)를 주고, 5단계의 찌그러진 예를 따로 계산해도 같은 값이 나온다. 선택지가 함정을 보여준다. 1+√(5) 자체는 선택지에 없지만 (D) (√(5)+1)/2 = k와 (E) √(5)가 바로 옆에 놓여, 별의 둘레를 구해 놓고 문제가 그 폭을 물었다는 사실을 잊은 사람을 기다리고 있다. 둘레가 전혀 변하지 않으므로 그 폭은 한 점으로 뭉개지고 차는 0이다. 필요한 도구가 얼마나 적은지도 눈여겨볼 만하다. 논증 전체가 오각형 내각의 합과 AA 닮음만으로 굴러가므로 8학년 기하를 마친 학생이면 끝까지 갈 수 있다. k의 정확한 값은 요구 조건이 아니라 덤으로 하는 검산이다.

💡핵심 정리

별의 다섯 뿔은 각이 모두 같아서, 각 뿔의 빗변은 그 뿔이 올라선 변의 정해진 배수가 되고, 그래서 별의 둘레는 오각형의 둘레에만 의존할 수 있다.

그림 속 모든 각을 고정하기
별이 항상 만들어짐을 보이기
다섯 뿔은 모두 같은 모양
테두리 열 조각을 모두 더하기
모양을 극단까지 밀어보기
상수는 폭이 0이다