AMC 10 · 2013 · #18

세 가지를 따로 확인한다. 첫째, 이 특징 서술은 고정점으로서 자기 일관적이며, 이는 그것이 옳은 서술이라는 강한 신호다. {0,1,3}을 Barbara의 패배 나머지 집합, {0}을 Jenna의 패배 나머지 집합이라 부르자. Barbara가 n에서 이기는 것은 n-2 또는 n-4가 ≡ 0일 때뿐이므로 n ≡ 2, 4가 되고, 따라서 그녀의 패배 집합은 가정한 대로 {0,1,3}이다. Jenna가 n에서 이기는 것은 n-1 또는 n-3이 {0,1,3}에 들어갈 때뿐이므로 n ≢ 0이 되고, 따라서 그녀의 패배 집합은 가정한 대로 {0}이다. 두 집합이 서로를 재생산한다. 둘째, 주기 5라는 주장은 나머지에 대한 어떤 추측도 없이 확인할 수 있다. n ≥ 6에서 쌍 (B(n), J(n))은 바로 앞의 네 쌍에 의해, 그리고 n 자체에 의존하지 않는 규칙에 의해 정해진다. 그러므로 n = 6,7,8,9에서의 연속한 네 쌍의 창이 그 뒤 전체를 결정한다. 그 창은 (J,J), (B,J), (J,J), (B,J)이고, n = 11,12,13,14에서의 창도 같은 네 쌍이다. 갱신 규칙이 매 단계 동일하므로 수열은 그 이후 영원히 주기 5로 반복될 수밖에 없다. 이는 반복되는 상태에 대한 비둘기집 식 논증만으로 주기성에 도달하는 독립적인 경로다. 셋째, 손으로 만든 표를 2013, 2014와 나머지가 같은 n = 48, n = 49까지 늘려 보면 48에서는 누가 먼저 두든 Jenna가 이기고 49에서는 먼저 두는 사람이 이긴다 — 2013과 2014의 판정과 일치한다. 여기서 답의 글자만 맞춰 보는 것은 약한 증거였을 것이다. (B)와 (D)는 2013에 대해 완전히 같은 말을 하고 오직 2014의 분석만이 둘을 갈라놓기 때문이다. 두 절반을 각각 독립적으로 확정했으므로 (B)는 안전하다.