AMC 10 · 2013 · #22

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

logarithm-propertiesvieta-formulasprime-factorizationoptimization convert-to-algebraidentify-subproblemsextremal-construction ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

정수인 두 밑이 하나의 로그 방정식에 나오고 근의 곱이 정수여야 한다. 곱이 가장 작을 때 두 밑의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

272

풀이 과정

전략 변수 도입하기

방정식에는 모르는 로그가 둘인 것처럼 보이지만, log_n x와 log_m x는 같은 수 ln x를 서로 다른 눈금으로 읽은 것일 뿐입니다. L = ln x라고 한 번만 이름을 붙이면(변수 도입하기) 방정식은 L에 대한 이차식으로 접히고, 해들의 곱은 근의 합을 지수로 올린 값이므로 비에트 정리로 이차방정식을 풀지 않고도 얻어집니다. 그러면 문제는 깔끔하게 둘로 갈립니다(작은 문제로 쪼개기). 앞부분은 ⁸√(m⁷ n⁶)이라는 식을 만들어 내는 대수이고, 뒷부분은 정수에 대한 순수한 최소화입니다. 진짜 어려운 곳은 뒷부분이고, 최소라는 주장에는 언제나 두 짝이 필요합니다(극단의 원리). 아무것도 넘어설 수 없는 하한 하나와, 그 하한에 실제로 닿는 구체적인 쌍 하나입니다. 작은 경우 몇 개를 살펴 패턴을 읽는 것은 최소임의 증명이 아니므로, 하한은 소인수 지수에서 끌어냅니다.

1STEP 1

움직이는 것에 이름 붙이기

문자 하나가 움직이는 부분을 이름 짓는다.

L = ln x, a = ln m ＞ 0, b = ln n ＞ 0, log_m x = L/a, log_n x = L/b

2STEP 2

분모 없애기

분모를 없애면 단순한 이차식이 된다.

8L²/ab - 7L/b - 6L/a - 2013 = 0 → 8L² - (7a + 6b)L - 2013ab = 0

3STEP 3

해가 정말 있는지 확인하기

그 근은 실수이고 서로 다르다.

L₁ L₂ = -2013ab/8 ＜ 0 → (7a + 6b)² + 64 · 2013 ab ＞ 0 → L₁ ≠ L₂ both real, x_i = e^L_i ＞ 0

4STEP 4

비에트로 구하고 로그 풀기

근의 합이 구하는 곱을 준다.

L₁ + L₂ = (7a + 6b)/8 = (7ln m + 6ln n)/8 → P = x₁ x₂ = e^L₁ + L₂ = m⁷/8 n⁶/8 = ⁸√(m⁷ n⁶)

5STEP 5

정수 조건은 지수 이야기

정수 조건은 지수에 대한 조건이다.

P⁸ = m⁷ n⁶, m = Π p^α_p, n = Π p^β_p, P = Π p^γ_p → 8γ_p = 7α_p + 6β_p for every prime p

6STEP 6

m 속 소수는 4를 요구한다

한 밑에 든 소수가 하한을 강제한다.

α ≡ 2γ (mod 6), 7α ≤ 8γ, α ≥ 1 ⟹ γ ≥ 4 ⟹ P ≥ p⁴ ≥ 2⁴ = 16

7STEP 7

바닥에 닿게 하고 더하기

그 하한에 닿으면 12, 보기 (E).

γ = 4: α = 2, β = 3 → m = 4, n = 8, m⁷ n⁶ = 2¹⁴ · 2¹⁸ = 2³² = 16⁸ → P = 16, m + n = 12

정답

위의 도구를 하나도 쓰지 않고 (m,n) = (4,8)을 원래 방정식에 그대로 넣어 봅시다. t = log₂ x라 하면 log₄ x = t/2, log₈ x = t/3이므로 방정식은 8 · t/3 · t/2 - 7 · t/3 - 6 · t/2 - 2013 = 0, 곧 4t² - 16t - 6039 = 0이 됩니다. 두 근의 합이 4이므로 x₁ x₂ = 2⁴ = 16으로 공식과 일치합니다. 수치로는 t ≈ 40.91과 t ≈ -36.91이어서 x₁ ≈ 2.06 × 10¹², x₂ ≈ 7.76 × 10⁻¹²이고 그 곱은 16입니다. 아주 큰 해 하나와 아주 작은 해 하나로, 3단계에서 예측한 부호가 반대인 모양 그대로입니다. 2 ≤ m, n ≤ 3000인 모든 쌍을 훑어보면 16보다 작은 정수 곱은 없고 16은 (4,8)에서만 나오는데, 이는 지수가 하나로 정해진다는 증명과 맞아떨어집니다. 오답 보기도 배울 점이 있습니다. (m,n) = (16,4)도 곱을 정수 32로 만들고 m + n = 20, 즉 보기 (B)를 줍니다. 가장 작은 것이 아니라 처음 찾은 정수에서 멈추는 함정입니다. 마찬가지로 (256,16)은 정수 1024를 주고 m + n = 272, 보기 (E)가 됩니다. 답 (A)가 맞습니다.

💡핵심 정리

방정식 속 모든 로그는 밑만 다르게 입은 같은 수이므로 한 번만 이름을 붙이세요. 그러면 식은 이차방정식이 되고, 그 두 근의 합이 바로 구하려는 곱의 로그입니다.

움직이는 것에 이름 붙이기
분모 없애기
해가 정말 있는지 확인하기
비에트로 구하고 로그 풀기
정수 조건은 지수 이야기
m 속 소수는 4를 요구한다
바닥에 닿게 하고 더하기