AMC 10 · 2013 · #23
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'마지막 두 자리'라는 말은 mod 100으로 다루라는 신호이고, mod 100은 각 숫자의 마지막 두 자리만 남긴다. 그래서 첫 수는 그 자리들을 변수로 이름 붙이는 것이다. 5진법은 a와 b, 6진법은 c와 d. 그러면 무서운 진법 변환 문제가 하나의 합동식으로 바뀐다. 이어서 그 합동식을 더 쉬운 두 개의 작은 문제, 즉 일의 자리(mod 10)와 십의 자리로 쪼개어 각각 풀고, 마지막에 살아남은 경우의 수를 센다.
'마지막 두 자리'를 mod 100으로 바꾸기
마지막 두 자리는 나머지 조건이다.
mod 100은 십의 자리와 일의 자리를 뺀 모든 자리를 지우므로, 각 숫자의 마지막 두 자리만 살아남는다.
마지막 두 자리만 본다는 것은 가장 낮은 두 자리를 뺀 모든 자리를 지우는 것이다.
▸ 왜?
수 표기는 자릿수에 밑의 거듭제곱을 곱한 것이므로, 높은 자리는 모두 그 기준의 정수 배다.
▸ 왜?
따라서 마지막 두 자리는 그 기준으로 나눈 나머지 그대로이며, 그 위의 것은 상관이 없다.
각 진법의 마지막 두 자리에 이름 붙이기
각 진법의 마지막 두 자리에 이름을 붙인다.
5로, 6으로 나누면 일의 자리와 십의 자리에 놓일 정확한 숫자가 그대로 나온다.
4.NBT.B.6Introduce A Variable일의 자리가 두 진법 일의 자리를 같게 만든다
일의 자리가 두 진법의 자릿수를 같게 만든다.
일의 자리는 두 진법 나머지가 말 그대로 같은 수일 때만 균형이 맞는다.
6.EE.A.2Identify Subproblems십의 자리가 k에 대한 조건이 된다
십의 자리가 작은 조건이 된다.
이미 맞아떨어진 일의 자리를 걷어내면 오직 k에 대한 깔끔한 합동식 하나만 남는다.
5.NBT.A.2Introduce A Variable좋은 k를 세고 곱하기
개수를 곱하면 25, 보기 (E).
깔끔한 합동식 하나가 다섯 개의 k 블록을 주고, 각 블록이 다섯 개의 일의 자리를 담으니, 전체는 5 곱하기 5의 격자가 된다.
4.NBT.B.5Eliminate Possibilities'마지막 두 자리'는 mod 100으로 다루라는 뜻이다. 일의 자리를 먼저 맞추고 그다음 십의 자리를 맞추면, 무서운 진법 변환 문제가 간단한 나머지 세기로 바뀐다.
- '마지막 두 자리'를 mod 100으로 바꾸기
- 각 진법의 마지막 두 자리에 이름 붙이기
- 일의 자리가 두 진법 일의 자리를 같게 만든다
- 십의 자리가 k에 대한 조건이 된다
- 좋은 k를 세고 곱하기