AMC 10 · 2013 · #25
학년 11 algebracounting답을 골라 클릭하세요.
차수에 제한이 없으므로 다항식을 직접 세는 것은 불가능하다. 돌파구는 각 다항식을 그 근의 집합으로 바꿔 적은 뒤, 그 집합을 보통의 양의 정수처럼 행동하는 조각으로 쪼개는 것이다. 조각은 실수 근 하나이거나, 곱이 a² + b²인 켤레쌍 a+bi와 a-bi다. 모든 조각이 자연수 크기를 갖고 그 크기들의 곱이 50이어야 한다는 조건이 생기면, 문제는 유한한 인수분해 문제로 바뀐다. 그다음은 빠짐없이 나열하기가 마무리한다. 50을 인수로 쪼개는 몇 가지 방법을 적고, 각 인수마다 그 값을 만드는 실수 근과 켤레쌍을 모두 적으면 된다.
다항식은 곧 근의 집합이다
여기서 다항식은 곧 근의 집합이다.
최고차항 계수가 1인 다항식과 그 근의 목록은 정확히 같은 정보를 담고 있으므로, 한쪽을 세면 다른 쪽을 센 것이다.
11.A-APR.B.3Organize Information In More Ways켤레 대칭성, 그리고 그것이 정확한 조건인 이유
정수 계수는 켤레 대칭을 뜻한다.
켤레는 근들의 순서만 뒤섞을 뿐 집합 자체를 움직이지 못하므로 계수도 움직일 수 없고, 그래서 계수는 실수일 수밖에 없다.
켤레를 취하면 근들이 자리를 바꿀 뿐 그 모임은 그대로이므로, 계수도 움직일 수 없다.
▸ 왜?
실수 계수 다항식은 실수가 아닌 근을 켤레 짝으로 지닌다.
▸ 왜?
각 근은 정확히 하나의 근으로 갔다가 되돌아오므로, 그 모임이 남김없이 자기 위로 옮겨진다.
모든 근의 부호를 뒤집어 부호 문제를 없앤다
모든 근의 부호를 뒤집으면 부호 문제가 사라진다.
모든 근의 부호를 한 번에 뒤집으면 비에트 공식의 오락가락하는 부호가 50이라는 깔끔한 곱 하나로 바뀐다.
7.NS.A.2Change Focus Count The ComplementR을 블록으로 쪼갠다
근이 켤레 블록으로 묶인다.
켤레쌍 하나는 양의 자연수 하나처럼 행동하므로, 근의 집합 전체가 정수들의 곱처럼 행동하게 된다.
11.N-CN.A.3Identify Subproblems모든 블록 값은 50의 약수이므로 전부 나열한다
모든 블록의 값이 상수항을 나눠야 한다.
등장할 수 있는 것은 50의 약수뿐이고, 약수마다 그 값을 만드는 실수 근과 켤레쌍을 그냥 적어 내려가면 된다.
4.OA.B.4Make A Systematic List크기 1인 블록: 둘은 자유, 하나는 강제
한 근짜리 블록 둘은 자유다.
값이 +1인 블록은 아무것도 바꾸지 않고, 하나뿐인 -1 블록은 이미 정해진 부호에 따라 위치가 강제되는 스위치다.
6.NS.C.7Change Focus Count The Complement50을 크기로 쪼개고 각 경우를 센다
상수항을 쪼개면 132가지다.
50을 인수로 쪼개는 방법 하나하나가 각각의 장보기 목록이고, 각 인수 뒤에는 정해진 개수의 가우스 정수가 있다.
11.S-CP.B.9Make A Systematic List자유롭던 단위 블록을 다시 곱한다
다시 곱하면 528, 보기 (D).
해가 없는 두 근이 각각 개수를 두 배로 만들어 132를 528로 키운다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List실수부와 허수부가 정수인 근은 켤레쌍으로 짝지어지고 그 곱은 평범한 자연수 a² + b²이 되므로, 이 다항식을 세는 문제는 50을 인수로 쪼개는 방법을 세고 각 인수 뒤에 있는 가우스 정수를 세는 문제로 바뀐다.
- 다항식은 곧 근의 집합이다
- 켤레 대칭성, 그리고 그것이 정확한 조건인 이유
- 모든 근의 부호를 뒤집어 부호 문제를 없앤다
- R을 블록으로 쪼갠다
- 모든 블록 값은 50의 약수이므로 전부 나열한다
- 크기 1인 블록: 둘은 자유, 하나는 강제
- 50을 크기로 쪼개고 각 경우를 센다
- 자유롭던 단위 블록을 다시 곱한다