AMC 10 · 2013 · #3
학년 4 counting consecutive-integer-countsymmetry-argument work-backwardspattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
연속한 수를 앞에서부터, 그다음 뒤에서부터 나열한다. 거꾸로 센 목록에서 한 수의 자리를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
146
(B)
147
(C)
148
(D)
149
(E)
150
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기
문제는 목록을 끝에서부터 읽었을 때의 위치를 묻고 있으므로 도구 #11(거꾸로 풀기)이 딱 맞습니다 — 201에서 시작해 53에 닿을 때까지 하나씩 내려가면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 이 풀이가 기대는 재사용 가능한 사실 하나, 즉 한 값에서 다른 값까지 양 끝을 포함해 정수가 몇 개 있는지를 제공합니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 같은 목록에서 앞 위치와 뒤 위치의 합이 항상 일정하다는 성질로 빠른 검산을 해 줍니다.
1STEP 1
양 끝 포함 세기 규칙
앞에서 센 목록이 세기 규칙을 확인해 준다.
위치(앞에서) = 53 - 3 + 1 = 51 ✓
끝값끼리 빼면 수들 사이의 간격이 세어지고, +1은 시작하는 수 자체를 다시 더해 양 끝을 모두 포함시켜 줍니다.
양 끝을 빼면 간격이 세어지므로, 시작하는 수까지 넣으려면 1을 되더한다.
▸ 왜?
덩어리 속의 각 수는 하나의 항목이고 각 간격은 둘 사이의 자리이므로, 항목이 간격보다 하나 많다.
일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
▸ 왜?
간격의 개수는 양 끝의 차일 뿐이며, 그 덩어리가 수직선 어디에 있든 마찬가지다.
둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
2STEP 2
거꾸로 세기로 바꾸기
거꾸로 센 목록은 반대쪽 끝에서 센다.
n = 201 - 53 + 1
목록을 위에서부터 읽으면 53의 등수는 꼭대기 201부터 53까지의 수 덩어리 크기 그 자체입니다.
2.OA.A.1Work Backwards3STEP 3
n 계산하기
같은 규칙이 149를 준다, 보기 (D).
n = 201 - 53 + 1 = 148 + 1 = 149 → (D)
다자릿수 뺄셈 201 - 53 하나가 핵심 일을 다 하고, +1은 앞에서와 똑같은 양 끝 포함 보정입니다.
4.NBT.B.4Work Backwards정답
149
전체 목록에는 201 - 3 + 1 = 199개의 수가 있습니다. 같은 목록에서 한 수의 앞 위치와 뒤 위치는 반드시 합이 199 + 1 = 200이 됩니다(+1은 그 수 자체가 양쪽에서 한 번씩 세어지기 때문). 앞에서 53은 51번째였으니, 뒤에서는 200 - 51 = 149번째여야 하며 (D)와 일치합니다. 또한 작은 쪽 끝에 가까운 수는 거꾸로 센 목록에서는 먼 쪽, 즉 149처럼 큰 위치에 오는 것이 자연스럽습니다.
💡핵심 정리
거꾸로 센 목록에서 내 자리를 찾으려면 꼭대기 끝에서 내 수까지 몇 개가 있는지 세면 돼요: 201 - 53 + 1 = 149, 이미 아는 양 끝 포함 세기예요.
- 양 끝 포함 세기 규칙
- 거꾸로 세기로 바꾸기
- n 계산하기