AMC 10 · 2013 · #5
학년 6 rate-ratio weighted-averagemean-median-mode-range identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
크기가 다른 두 무리의 평균 나이를 안다. 전체의 평균 나이를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
22
(B)
23.25
(C)
24.75
(D)
26.25
(E)
28
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
두 그룹을 함께 평균 내려면 먼저 각 그룹의 나이 총합이 필요하다. 그래서 문제를 세 개의 작은 문제로 쪼갠다: 학생들의 나이 총합, 학부모들의 나이 총합, 그리고 합친 총합을 합친 인원수로 나누는 한 번의 나눗셈. 단위(사람당 나이 연수)를 계속 살펴보면 마지막 나눗셈이 흐트러지지 않는다.
1STEP 1
평균은 총합을 숨기고 있다
모든 평균은 총합을 숨기고 있다.
평균 = 총합/개수
평균은 총합을 고르게 나눈 값이므로, 그룹을 합치려면 먼저 총합을 되찾아야 한다.
평균은 총합을 고르게 나눈 것이므로, 두 무리를 합치려면 먼저 총합을 되살려야 한다.
▸ 왜?
평균에 다시 개수를 곱하면 그것이 나온 총합이 돌아온다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
▸ 왜?
합쳐진 무리는 두 무리를 모은 것 그대로이므로, 총합도 개수도 더해진다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
5학년 학생들의 나이 총합
첫 무리의 총합은 363이다.
33 × 11 = 363
평균에 인원수를 곱하면 그 그룹의 나이 전체 더미가 되살아난다.
5.NBT.B.5Identify Subproblems3STEP 3
학부모들의 나이 총합
둘째 무리의 총합은 1815다.
55 × 33 = 1815
학생 때와 똑같다: 평균 곱하기 인원수가 그 그룹의 나이 총합이다.
5.NBT.B.5Identify Subproblems4STEP 4
총합과 인원수 합치기
두 총합과 두 인원이 합쳐진다.
363 + 1815 = 2178, 33 + 55 = 88
하나로 합친 그룹은 하나의 총합과 하나의 인원수를 갖는다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems5STEP 5
한 번 나눠서 평균 구하기
한 번 나누면 24.75, 보기 (B).
2178/88 = 24.75
나이 총합을 모든 사람에게 나누면 사람당 나이가 되고, 그것이 바로 평균이다.
6.NS.B.3Analyze The Units정답
24.75
결과 24.75는 11과 33 사이에 놓이는데, 두 평균을 섞은 값이라면 반드시 그 사이에 있어야 한다. 학부모(55명)가 5학년 학생(33명)보다 많으므로, 섞인 값은 단순 중간값 22가 아니라 학부모의 33 쪽으로 치우쳐야 한다 — 실제로 24.75는 22보다 크다. 보기 (A) 22는 두 평균을 잘못 다시 평균 내면 빠지는 함정이다.
💡핵심 정리
인원수가 다른 두 그룹은 평균끼리 다시 평균 내면 안 된다 — 각 평균을 총합으로 되돌리고, 전부 더한 뒤, 딱 한 번만 나눠라.
- 평균은 총합을 숨기고 있다
- 5학년 학생들의 나이 총합
- 학부모들의 나이 총합
- 총합과 인원수 합치기
- 한 번 나눠서 평균 구하기